2026届上海市长宁区延安中学数学高一上期末考试试题含解析.doc

2026届上海市长宁区延安中学数学高一上期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向左平移
4．函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，若有且仅有两个不同实数，，使得则实数的值不可能为　　
A. B.
C. D.
7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为　　

A.
B.
C.
D.
8．若，则（）
A. B.a
C.2a D.4a
9．设集合，，，则（）
A. B.
C. D.
10．已知命题：，总有，则命题的否定为（）
A.，使得 B.，使得
C.，总有 D.，总有
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小正周期为，且.当时，则函数的对称中心__________;若，则值为__________.
12．有下列四个说法：
①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；
②若函数的图象关于直线对称，则；
③函数在上单调递减，在上单调递增；
④当时，函数有四个零点
其中正确的是___________（填上所有正确说法的序号）
13．已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.
14．已知角的终边经过点，则的值等于______.
15．若在内有两个不同的实数值满足等式，则实数k的取值范围是_______
16．若函数，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解下列关于的不等式；
（1）；
（2）.
18．（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知，且，求cos()的值.
19．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程
20．近年来，手机逐渐改变了人们生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高.为了了解市场上某品牌的甲、乙两种型号手机的性能，现从甲、乙两种型号手机中各随机抽取了6部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分）：
甲型号手机
90
89
90
88
91
92
乙型号手机
88
91
89
93
85
94
假设所有手机性能评分相互独立.
（1）在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率；
（2）在甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，求其中恰有1部手机性能评分不低于90分的概率；
（3）试判断甲型号手机样本评分数据的方差与乙型号手机样本评分数据的方差的大小（只需写出结论）
21．已知函数最小正周期为.
（1）求的值：
（2）将函数的图象先向左平移个单位，然后向上平移1个单位，得到函数，若在上至少含有4个零点，求b的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】解：解不等式得，
因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以
故选：C
2、A
【解析】，设 ，，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.
3、B
【解析】先将，进而由平移变换规律可得解.
【详解】函数，
所以只需将向右平移可得.
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移变换，解题的关键是将函数名统一，需要利用诱导公式，属于中档题.
4、B
【解析】当时，令，故，符合；当时，令，故，符合，所以的零点有2个，选B.
5、B
【解析】依题意画出函数图象，结合图象可知且，，即可得到，则，再令，根据二次函数的性质求出的取值范围，最后根据对勾函数的性质计算可得；
【详解】解：因，所以函数图象如下所示：

由图象可知，其中，其中，，，则，得..令，，
又在上单调减，，即.
故选：B.
6、D
【解析】利用辅助角公式化简，由，可得，根据在上有且仅有两个最大值，可求解实数的范围，从而可得结果
【详解】函数；
由，可得，
因为有且仅有两个不同的实数，，使得
所以在上有且仅有两个最大值，因为，
，
则；
所以实数的值不可能为，故选D
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题
7、A
【解析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得球的半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案
【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，
该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，
即球心到截面圆圆心的距离为，
由勾股定理可得，解得，
因此，球的体积为
故选A
【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题
8、A
【解析】利用对数的运算可求解.
【详解】，
故选：A
9、D
【解析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：集合，，
，
则
故选：D
10、B
【解析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定为，使得，
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据最小正周期以及关于的方程求解出的值，根据对称中心的公式求解出在上的对称中心；先求解出的值，然后根据角的配凑结合两角差的正弦公式求解出的值.
【详解】因为最小正周期为，所以，
又因为，所以，
所以或，
又因为，所以，所以，
所以，
令，所以，
又因为，所以，所以对称中心为；
因为，，所以，
若，则，不符合，
所以，所以，
所以，
故答案为：；.
12、②③
【解析】①：根据平面向量夹角的性质进行求解判断；
②：利用函数的对称性，结合两角和（差）的正余弦公式进行求解判断即可；
③：利用导数的性质、函数的奇偶性进行求解判断即可.
④：根据对数函数的性质，结合零点的定义进行求解判断即可
【详解】①：因为与的夹角为钝角，所以有且与不能反向共线，
因此有，当与反向共线时，
，
所以有且，因此本说法不正确；
②：因为函数的图象关于直线对称，
所以有，即，
于是有：
，
化简，得，因为，所以，因此本说法正确；
③：因为，
所以函数偶函数，
，当时，单调递增，
即在上单调递增，又因为该函数是偶函数，所以该在上单调递减，因此本说法正确；
④：，
问题转化为函数与函数的交点个数问题，如图所示：

当时，，此时有四个交点，
当时，，所以交点的个数不是四个，因此本说法不正确，
故答案为：②③
13、16
【解析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.
【详解】函数的零点
即
所以
去绝对值可得或
即或
去绝对值可得或,或
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
综上可得所有零点的乘积为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.
14、
【解析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，，
因此，.
故答案为：.
15、
【解析】讨论函数在的单调性即可得解.
【详解】函数，
时，单调递增，
时，单调递减，
，，，
所以在内有两个不同的实数值满足等式，
则，
所以.
故答案为：
16、0
【解析】令x=1代入即可求出结果.
【详解】令，则.
【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案；
（1）根据一元二次不等式的解法即可得出答案.
【小问1详解】
解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
解：不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为.
18、（1）；（2）
【解析】(1)根据三角函数的定义可得，代入直接计算即可；
(2)根据同角三角函数的基本关系求出，利用两角和的余弦公式计算即可.
【详解】(1)因为角的终边经过点，，
所以，，
所以；
（2）因，且，
则，
.
19、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25
（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
【解析】（1）设圆心C（a，b），半径为r，然后根据条件建立方程组求解即可；
（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.
【小问1详解】
根据题意，设圆心C（a，b），半径为r，标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，
则有，解可得，
则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
小问2详解】
若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：
①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；
②直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有5，解得m＝7+5或7﹣5，
此时直线l方程为x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；
综合可得：直线l的方程为yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
20、（1）
（2）
（3）甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.
【解析】（1）由于甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，进而得其概率；
（2）由于甲型号的手机有4部评分不低于90分，乙型号的手机有3部评分不低于90分，进而列举基本事件，根据古典概型求解即可；
（3）根据表中数据的分散程度，估计比较即可.
【小问1详解】
解：根据表中数据，甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，
所以随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率为
【小问2详解】
解：甲型号的手机有4部评分不低于90分，记为，另外两部记为
乙型号的手机有3部评分不低于90分，记为，另外三部记为，
所以甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，共有，，共36种，
其中恰有1部手机性能评分不低于90分的基本事件有，，共18种，
所以所求概率为.
【小问3详解】
解：根据表中数据，可判断甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.
21、（1）1 （2）
【解析】（1）利用平方关系、二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，然后根据周期公式即可求解；
（2）利用三角函数的图象变换求出的解析式，然后借助三角函数的图象即可求解.
【小问1详解】
解：
，
因为函数的最小正周期为，即，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）知，
由题意，函数，
令，即，
因为在上至少含有4个零点，
所以，即，
所以的最小值为.