广东省东莞中学松山湖学校2025年数学高一第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

广东省东莞中学松山湖学校2025年数学高一第一学期期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
2．设四边形为平行四边形，，若点满足，，则
A. B.
C. D.
3．下列四个函数中，在整个定义域内单调递减是　　
A. B.
C. D.
4．已知定义域为的奇函数满足，若方程有唯一的实数解，则（）
A.2 B.4
C.8 D.16
5．已知，且，则的最小值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
6．下列函数中，周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数，，的零点依次为，则以下排列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
9．设，则
A.f(x)与g(x)都是奇函数 B.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C.f(x)与g(x)都是偶函数 D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
10．将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知则_______.
12．若幂函数的图象过点，则___________.
13．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是__________
14．函数的单调递增区间为___________.
15．设函数.则函数的值域为___________；若方程在区间上的四个根分别为，，，，则___________.
16．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
100
13.0
10.1
7.0
10.0

据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数的图象
（1）试根据数据表和曲线，求的解析式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？
19．已知
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
20．（1）已知若，求x的取值范围．（结果用区间表示）
（2）已知，求的值
21．已知函数且.
（1）若，求的值；
（2）若在上的最大值为，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用三角函数的伸缩平移变换规律求解变换后的解析式，再根据二倍角公式化简.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得函数解析式为，再将函数向下平移1个单位长度，得函数解析式为.
故选：A
2、D
【解析】令，则，，
故
选D
3、C
【解析】根据指数函数的性质判断，利用特殊值判断，利用对数函数的性质判断，利用偶函数的性质判断
【详解】对于，，是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；
对于，，有，，不是减函数，不符合题意；
对于，为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；
对于，，为偶函数，整个定义域内不是单调函数，不符合题意，
故选C
【点睛】本题主要考查指数函数的性质、单调性是定义，对数函数的性质以及偶函数的性质，意在考查综合利用所学知识解答问题的能力，属于中档题
4、B
【解析】由条件可得，为周期函数，且一个周期为6，设，则得到偶函数，由有唯一的实数解，得有唯一的零点，则，从而得到答案.
【详解】由得，即，
从而，所以为周期函数，且一个周期为6，
所以.
设，将的图象向右平移1个单位长度，
可得到函数的图象，
且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，
从而偶函数有唯一的零点，且零点为，即，即，
解得，所以
故选：.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，解答本题的关键是由条件得到，得到为周期函数，设的图象，且为偶函数.由有唯一的实数解，得有唯一的零点，从而偶函数有唯一的零点，且零点为，属于中档题.
5、C
【解析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为且，所以，所以
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为
故选：C
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
6、C
【解析】对于A、B：直接求出周期；
对于C：先用二倍角公式化简，再求其周期；
对于D：不是周期函数，即可判断.
【详解】对于A：的周期为，故A错误；
对于B：的周期为，故B错误；
对于C：，所以其周期为，故C正确；
对于D：不是周期函数，没有最小正周期，故D错误.
故选：C
7、B
【解析】在同一直角坐标系中画出，，与的图像，数形结合即可得解
【详解】函数，，的零点依次为，
在同一直角坐标系中画出，，与的图像如图所示，由图可知，，，满足
故选：B．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
8、C
【解析】先根据函数值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，令底边的一个端点为，则另一个端点为，由此可知，可得，据此即可求出结果.
【详解】令和相等可得，即；
此时，即等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，
令底边的一个端点为，则另一个端点为，
所以，即，
当时，的最小值，最小值为
故选：C
9、B
【解析】定义域为，定义域为R,均关于原点对称
因为，所以f(x)是奇函数，
因为，所以g(x)是偶函数，选B.
10、A
【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解
【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
再把所得图象向左平移个单位，得到，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】因为，
所以
12、27
【解析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求,
【详解】设代入，即，所以，所以.
故答案为：27.
13、
【解析】若任意，存在，使得成立，
只需，
∵，在该区间单调递增，即，
又∵，在该区间单调递减，即，
则，，
14、
【解析】根据复合函数“同增异减”的原则即可求得答案.
【详解】由，设，对称轴为：，根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间为：.
故答案为：.
15、 ①. ②.
【解析】根据二倍角公式，化简可得，分别讨论位于第一、二、三、四象限，结合辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，即可得值域；作出图象与，结合图象的对称性，可得答案.
【详解】由题意得

当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
当时，即时，
，
又，
所以；
综上：函数的值域为.
因为，所以，
所以，
作出图象与图象，如下如所示

由图象可得，
所以
故答案为：；
16、 ①.448 ②.600
【解析】
销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．
【详解】由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值，，
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】根据给定条件可得AÜB，再借助集合的包含关系列式计算作答.
【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AÜB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
18、（1）；（2）至或至.
【解析】（1）根据数据，可得，由，可求，从而可求函数的表达式；
（2）由题意，水深，即，从而可求t的范围，即可得解；
【详解】解：（1）根据数据，可得，
，，
，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，，1，
，或，；
所以，该船在至或至能安全进港
19、（1）
（2）或
（3）存在，的取值范围为
【解析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论，求出最小值时m的值；（3）换元法，参变分离，转化为在恒成立，根据单调性求出取得最大值，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，

【小问2详解】
设，则，
，，其对称轴为，
的最小值为，
则；
的最小值为；
则
综上，或
【小问3详解】
由，对所有都成立.
设，则，
恒成立，

在恒成立，
当时，递减，则在递增，
时取得最大值
得,
∴
所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为
20、 (1) （2）或.
【解析】（1）根据指数函数单调性求解即可；
（2）由同角三角函数的基本关系求解，注意角所在的象限即可.
【详解】（1）因为，
所以，解得，
即 x的取值范围为.
（2）因为，所以是第三象限角或第四象限角，
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，.
21、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解；
（2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值.
【小问1详解】
因为的定义域为关于原点对称，
，
所以为奇函数，故.
【小问2详解】
，
若，则单调递减，单调递增，
可得为减函数，
当时，，
解得：，符合题意；
若，则单调递增，单调递减，
可得为增函数，
当时，
解得：，符合题意，
综上所述：的值为或.