2026届广东省揭西县河婆中学数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

2026届广东省揭西县河婆中学数学高一上期末综合测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2． “是”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分又不必要
3．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1
C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
5．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
6．若两平行直线与之间的距离是，则
A.0 B.1
C.-2 D.-1
7．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（）
A. B.
C. D.
8．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B.
C. D.
9．设集合，，，则
A. B.
C. D.
10．集合，，则P∩M等于
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；
③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间关系为__________；需准备不少于210人的食物的月份数为__________.
12．直线关于定点对称的直线方程是_________
13．幂函数的图像过点，则___________.
14．某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重/个，次品重/个.现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品.将这10袋产品从1～10编号，从第i号袋中取出i个产品，则共抽出______个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为______.
15．设是第三象限的角，则的终边在第_________象限.
16．已知是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；
（2）解不等式.
18．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且
写出年利润万元关于年产量（万部）的函数关系式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=CD=1，BC=2，PD=

（Ⅰ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-AB-C的正切值
20．已知集合，
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值集合
21．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.
【详解】解：因为函数，若对一切，都成立，
所以，对一切成立，
令，
所以，
故选：C
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
2、A
【解析】根据充分必要条件的定义判断
【详解】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，
若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件.
故选：A.
3、A
【解析】设函数，求出时的取值范围，再根据讨论的取值范围，判断是否能取得最大值,从而求出对应的概率值
【详解】在区间上任取一个数，基本事件空间对应区间的长度是，
由，得 ，
∴ ，
∴的最大值是或，即最大值是或；
令，得，解得；
又，∴；
∴当时，，
∴在上的最大值是，满足题意；
当时，，
∴函数在上的最大值是，
由，得，的最大值不是；
4、C
【解析】根据对数函数值域为R的条件，可知真数可以取大于0的所有值，因而二次函数判别式大于0，即可求得k的取值范围
【详解】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R
所以
解不等式得k≤0或k≥1
所以选C
【点睛】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为R与值域为R是不同的解题方法，属于中档题
5、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.
6、C
【解析】∵l1∥l2，∴n=-4，l2方程可化为为x+2y－3=0.又由d=，
解得m=2或－8（舍去），∴m+n=-2.
点睛：两平行线间距离公式是对两平行线方程分别为，，则距离为，要注意两直线方程中的系数要分别相等，否则不好应用此公式求距离
7、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；
是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，
故选：C.
8、C
【解析】由题意，函数在上连续且单调递增，计算，，根据零点存在性定理判断即可
【详解】解：函数在上连续且单调递增，
且，，所以
所以的零点所在的大致区间是
故选：
9、B
【解析】，，则=，所以
故选B.
10、C
【解析】先求出集合M和集合P，根据交集的定义，即得。
【详解】由题得，，则.
故选：C
【点睛】求两个集合的交集并不难，要注意集合P是整数集。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.5
【解析】设函数为，根据题意，即可求得函数的解析式，再根据题意得出不等式，即可求解.
【详解】设该函数为，
根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，最小，最大，且，故该函数的振幅为100；
由③可知，在上单调递增，且，所以，
根据上述分析，可得，解得，且，解得，
又由当时，最小，当时，最大，
可得，且，
又因为，所以，
所以游客人数与月份之间的关系式为，
由条件可知，
化简得，可得,
解得，
因为，且，所以，
即只有五个月份要准备不少于210人的食物.
故答案为：；.
12、
【解析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【详解】在直线上取点，点关于的对称点为
过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线
故答案为：
13、
【解析】先设，再由已知条件求出，即，然后求即可.
【详解】解：由为幂函数，则可设，
又函数的图像过点，则，则，
即，则，
故答案为：.
【点睛】本题考查了幂函数的解析式的求法，重点考查了幂函数求值问题，属基础题.
14、 ①.55 ②.8
【解析】将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，则共抽出个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，得到取出的次品的个数为8个，进而能求出次品袋的编号
【详解】某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重个，次品重个
现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品
将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，
则共抽出个产品；
将取出的产品一起称重，称出其重量，
取出的次品的个数为8个，
则次品袋的编号为8
故答案为：55；8
15、二或四
【解析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.
【详解】因为是第三象限角，所以，，
所以，，
当为偶数时，为第二象限角，
当为奇数时，为第四象限角.
故答案为：二或四.
16、
【解析】根据题意求出函数的单调区间及所过的定点，进而解出不等式.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，所以函数在上为减函数，.
所以且在上为增函数，，在上为减函数，.
所以的解集为：.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.
【详解】解：（1）设任意的且，
则

，
且，
，，
即，
即，
即对任意的，当时，都有，
在区间上增函数；
（2）由（1）知：在区间上是增函数；
又，
，
即，
即，
解得：，
即的解集为：.
【点睛】方法点睛：
定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
取值：任取，，规定，
作差：计算，
定号：确定的正负，
得出结论：根据同增异减得出结论.
18、（1）， ;（2）当时，y取得最大值57600万元
【解析】根据题意，即可求解利润关于产量的关系式为，化简即可求出；
由（1）的关系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利润
【详解】（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为

，.
由可得
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，y取得最大值57600万元
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值，其中解答中认真审题，得出利润关于年产量的函数关系式，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ） 证明，则 ，又PD⊥PB即可证明平面
（Ⅱ） 过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，DF与平面所成的角等于AB与平面所成的角，为直线DF和平面所成的角，在中，求解即可
（Ⅲ） 说明是二面角的平面角，在直角梯形ABCD内可求得，而，在中，求解即可
【详解】（Ⅰ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD

又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB与BC相交于点B，所以，PD⊥平面PBC.
（Ⅱ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=CF=1
又AD⊥DC，故BC⊥DC，ABCD为直角梯形，所以，DF=.         
在Rt△DPF中，PD=，DF=，sin∠DFP==
所以，直线AB与平面PBC所成角为30°.
（Ⅲ）设E是CD的中点，则PE⊥CD，又AD⊥平面PDC，所以PE⊥平面ABCD. 
在平面ABCD内作EG⊥AB交AB的延长线于G，连EG，
则∠PGE是二面角P-AB-C的平面角．在直角梯形ABCD内可求得EG=，而PE=，
所以，在Rt△PEG中，tan∠PGE==
所以，二面角P-AB-C的正切值为
【点睛】本题考查二面角的平面角以及直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用,要正确地找出线面角及二面角的平面角，然后解三角形即可.
20、（1）（2）
【解析】（1）两集合的交集为两集合的相同的元素构成的集合，两集合的并集为两集合所有的元素构成的集合；（2）由两集合的子集关系得到两集合边界值的大小关系，从而解不等式得到的取值范围
试题解析：（1），
（2）由可得
考点：集合运算及集合的子集关系
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据指数运算法则化简求值；
（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.
【小问1详解】

【小问2详解】