2025-2026学年广东省部分地区数学高一上期末经典试题含解析.doc

2025-2026学年广东省部分地区数学高一上期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，，，则有（）
A. B.
C. D.
2．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3．对于任意的实数，定义表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知集合，则中元素的个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
5．若的外接圆的圆心为O,半径为4,,则在方向上的投影为(　　)
A.4 B.
C. D.1
6．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
7．若集合，则
A. B.
C. D.
8．已知集合，集合，则
A. B.
C. D.
9．已知为常数，函数在内有且只有一个零点，则常数的值形成的集合是
A. B.
C. D.
10．下列命题中是真命题的个数为（）
①函数的对称轴方程是；
②函数的一个对称轴方程是；
③函数的图象关于点对称；
④函数的值域为
A1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________
12．函数最小值为______
13．写出一个定义域为，周期为的偶函数________
14．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O为线段中点，C为上异于O的一点，以为直径作半圆，过点C作的垂线，交半圆于D，连结，过点C作的垂线，垂足为E.设，则图中线段，线段，线段_______；由该图形可以得出的大小关系为___________.

15．已知函数，则函数的所有零点之和为________
16．设是R上的奇函数，且当时，，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：.
（2）若，求的值.
18．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点.

（1）求证：PB//平面AEC；
（2）求D到平面AEC的距离.
20．已知的三个顶点是，直线过点且与边所在直线平行.
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
21．若＝，是第四象限角，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，
，，
因为函数在上是增函数，，
所以
由三角函数线知：，，因为，
所以，所以

故选：C.
2、D
【解析】根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形
故选：D
3、B
【解析】根据充分必要性分别判断即可.
【详解】若，则可设，则，，其中，
，，即“”能推出“”；
反之，若，，满足，但，，即“”推不出“”，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
4、A
【解析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数
【详解】∵集合∴A∩B＝{3}，
∴A∩B中元素的个数为1
故选A
【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用
5、C
【解析】过作的垂线，垂足为，分析条件可得，作出图分析结合投影的几何意义可进而可求得投影..
【详解】过作的垂线，垂足为,则M为BC的中点，连接AM,

由，可得,
所以三点共线,即有 ,
且.
所以.
在方向上的投影为,
故选:C.
6、D
【解析】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.
7、D
【解析】详解】集合，
所以.
故选D.
8、B
【解析】交集是两个集合的公共元素，故.
9、C
【解析】分析：函数在内有且只有一个零点，等价于，有一个根，函数与只有一个交点，此时，，
详解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，令，
，，

，
，

，
，
，
，
∵零点只有一个，
∴函数与只有一个交点，
此时，，
．故选C.
点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.
10、B
【解析】根据二次函数的性质、三角函数的性质以及图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：函数的对称轴方程是，故①是假命题；
对②：函数的对称轴方程是：，
当时，其一条对称轴是，故②正确；
对函数，
其函数图象如下所示：

对③：数形结合可知，该函数的图象不关于对称，故③是假命题；
对④：数形结合可知，该函数值域为，故④为真命题.
综上所述，是真命题的有2个.
故选：.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 (0,1)
【解析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.
【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m满足不等式组解得0<m<1.
故答案为(0,1)
【点睛】这个题目考查了二次函数根的分布的问题，结合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.
12、
【解析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为，
所以
，当且仅当时，等号成立
故函数的最小值为.
故答案为：
13、（答案不唯一）
【解析】结合定义域与周期与奇偶性，写出符合要求的三角函数即可.
【详解】满足定义域为R，最小正周期，且为偶函数，符合要求.
故答案为：
14、 ①. ②.
【解析】利用射影定理求得，结合图象判断出的大小关系.
【详解】在中，由射影定理得，即.
在中，由射影定理得，
即
根据图象可知，即.
故答案为：；
15、0
【解析】令，得到，在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】因为函数，
所以的对称中心是，
令，得，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：

由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点
由对称性可知：零点之和为0，
故答案为：0
16、
【解析】由函数的性质得，代入当时的解析式求出的值，即可得解.
【详解】当时，，，
是上的奇函数，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数幂运算、对数加法运算以及三角函数的诱导公式一，化简即可求出结果；
（2）利用诱导公式和同角的基本关系，对原式化简，可得，再将代入，即可求出结果.
【详解】解：（1）原式

.
（2）因为，
所以

.
18、（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数

在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连接交于，连接，则可得，再由E是PD的中点，则可利用三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由已知条件可证明，都为直角三角形，所以可求出，从而可求出的面积，然后利用等体积法可求出D到平面AEC的距离.
【小问1详解】
连接交于，连接，
因为四边形为平行四边形，
所以，
因为点E是PD的中点，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
【小问2详解】
因为∥，，
所以，，
因为平面，平面，
所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
在直角中，，
同理，
在等腰中，,
取的中点，连接，则∥，，
因平面，所以平面，，
设D到平面AEC的距离为，
由，得
,
所以，得，
所以D到平面AEC距离为

20、 (1) (2)
【解析】(1)利用线线平行得到直线的斜率，由点斜式得直线方程；(2)利用点点距求得，利用点线距求得三角形的高，从而得到的面积.
试题解析：
（1）由题意可知:直线的斜率为：，
∵，直线的斜率为-2，
∴直线的方程为：，即.
（2）∵，
点到直线的距离等于点到直线的距离，∴，
∴的面积.
21、
【解析】先计算正弦与正切，利用诱导公式化简可得
【详解】若＝，是第四象限角，则
原式=.