吉林省吉林市丰满区第五十五中学2026届数学高一上期末统考试题含解析.doc

吉林省吉林市丰满区第五十五中学2026届数学高一上期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若则函数的图象必不经过（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2．已知平面直角坐标系中，点，，，、、，，是线段AB的九等分点，则（ ）
A.45 B.50
C.90 D.100
3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
4．三个数大小的顺序是
A. B.
C. D.
5．已知向量，，则
A. B.
C. D.
6．已知a＝4-5，b=log45，c＝log0.45，则a，b，c的大小关系为（）
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.c>a>b
7．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
8．半径为2，圆心角为的扇形的面积为（）
A. B.
C. D.2
9．已知函数，则函数（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最大值 D.没有最值
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数．】
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____
12．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______
13．已知集合
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）当时，若，求实数的取值范围
14．已知．若实数m满足，则m的取值范围是__
15．若函数（，且）的图象经过点，则___________.
16．下列四个命题：
①函数与的图象相同；
②函数的最小正周期是；
③函数的图象关于直线对称；
④函数在区间上是减函数
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，，其中
（1）写出的单调区间（无需证明）；
（2）求在区间上的最小值；
（3）若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围
18．计算题

19．已知集合，
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围
20．某地为践提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩
（1）列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；
（2）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据：
21．已知函数
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】令，则的图像如图所示，

不经过第二象限，故选B.
考点：1、指数函数图像；2、特例法解题.
2、B
【解析】利用向量的加法以及数乘运算可得，再由向量模的坐标表示即可求解.
【详解】

，
∴

故选：B.
3、D
【解析】是奇函数，故 ；又是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
4、B
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性知：，即；，即；，即；所以，故正确答案为选项B
考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法
5、A
【解析】因为，故选A.
6、C
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断的大致范围，即可比较大小.
【详解】因为，且，故；
又，故；
又，故；
故.
故选：C.
7、D
【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数，与，
答案A没有幂函数图像，
答案B.中，中，不符合，
答案C中，中，不符合，
答案D中，中，符合，故选D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.
8、D
【解析】利用扇形的面积公式即得.
【详解】由题可得.
故选：D
9、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令，则，
因为，，故，
当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，
由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.
故选：B
10、A
【解析】随机选取两个不同的数共有种，而其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率
【详解】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
随机选取两个不同的数共有种，
随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，分别为（3,17）和（7,13），
故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率，
故选：

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、；
【解析】令 ,则为偶函数,且 ,当时, 为减函数
所以当时, ;当时, ;因此当时, ;当时, ,即不等式的解集为
点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.
12、
【解析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.
【详解】，
理由如下：
为上的减函数，且，
为上的增函数，且，
，
故答案为：
13、（1）30（2）或
【解析】（1）当时，可得中元素的个数，进而可得的非空真子集的个数；
（2）根据，可分和两种情况讨论，可得出实数的取值范围
【小问1详解】
当时，，共有5个元素，
所以的非空真子集的个数为
【小问2详解】
（1）当时，，解得；
（2）当时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得或
解得：或
综上可得，实数的取值范围是或
14、
【解析】由题意可得，进而解不含参数的一元二次不等式即可求出结果.
【详解】由题意可知，即，所以，因此，
故答案：.
15、
【解析】把点的坐标代入函数的解析式，即可求出的值.
【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得.
故答案为：.
16、①②④
【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.
【详解】对于①，，所以两个函数的图象相同，所以①对；
对于②，
，所以最小正周期是，所以②对；
对于③，因为，所以，，，
因为，所以函数的图象不关于直线对称，所以③错，
对于④，，
当时，，
所以函数在区间上是减函数，所以④对，
故答案为①②④
【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）
（3）
【解析】（1）利用去掉绝对值及一次函数的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用单调性与最值的关系即可求解；
（3）根据已知条件将问题转化为，再利用函数的单调性与最值的关系，分情况讨论即可求解.
【小问1详解】
由，得,
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是,
【小问2详解】
由（1）知，函数的单调递增区间是，单调递减区间是,
当，即时，当时，函数取得最小值为
，
当，即时，当时，函数取得最小值为
，
综上所述，函数在区间上的最小值为.
【小问3详解】
因为对任意，均存在，使得成立
等价于，，.
而当时，，故必有
由第（2）小题可知，，且，所以，
①当时，
∴，可得，
②当时，
∴，可得，
③当时，
∴或，可得，
综上所述，实数的取值范围为
18、2
【解析】直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.
【详解】化简

.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
19、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）分别求出集合和集合，求并集即可；
（2）选①，根据集合和集合的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，
选②，先求出，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，
选③，得到，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，所以
【小问2详解】
若选①：则满足或，
所以的取值范围为或
若选②：所以或，
则满足，所以的取值范围为
若选③： 由题意得，
则满足
所以的取值范围为
20、（1）(且)；
（2）10.
【解析】(1)直接由题意可得与的函数解析式；
(2)设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，求解指数不等式得答案
【小问1详解】
森林原来的面积为亩，森林面积的年平均增长率为，年后森林的面积为亩，
则(且)；
【小问2详解】
设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，
，得，
即，
，即取10，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林10年
21、（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）
【解析】（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.
（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.
（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）要使有意义，则，解得：
∴的定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知： 且，
∴为奇函数，得证
（3）∵在内是增函数，由，
∴，解得，
∴不等式的解集是.