江苏省淮安市淮安中学2025年数学高一上期末检测试题含解析.doc

江苏省淮安市淮安中学2025年数学高一上期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7

23
9
-7
11
-5
-12
-26
函数在区间上的零点至少有（）
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
2．已知在海中一孤岛的周围有两个观察站，且观察站在岛的正北5海里处，观察站在岛的正西方.现在海面上有一船，在点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站与的距离为
A. B.
C. D.
3．函数是上的偶函数，则的值是
A. B.
C. D.
4．若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（）
A. B.
C. D.
7．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（）
A. B.
C. D.
9．已知集合，，则（）
A B.
C. D.{1，2，3}
10．函数的最小值是（ ）
A. B.0
C.2 D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知两点,,以线段为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________.
12．已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为，则该正四棱锥的侧面积等于________cm2
13．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M、m，则___________.
14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮船航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子的半径为，他以的角速度逆时针旋转，轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H（单位：m），轮子旋转时间为t（单位：s）.当时，点P在轮子的最高处.

（1）当点P第一次入水时，__________；（2）当时，___________.
15．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____
16．经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
18．如图为函数的一个周期内的图象.

（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）当时，求的值域.
19．设两个向量，，满足，.
（1）若，求、的夹角；
（2）若、夹角为，向量与夹角为钝角，求实数的取值范围.
20．已知函数.求：
（1）的值域；
（2）的零点；
（3）时x的取值范围
21．在①f (x)是偶函数；②是f (x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f (x)相邻两条对称轴之间距离为.这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.
已知函数f (x) = sin(x +)(> 0，0 <<π)，满足________.
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）将函数y = f (x)图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y = g(x)；若函数F (x) = f (x) + kg(x)在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用零点存在性定理即可求解.
【详解】函数的图像是连续的，；
；
，
所以在、，之间一定有零点，
即函数在区间上的零点至少有3个.
故选：C
2、D
【解析】画出如下示意图

由题意可得，，又，
所以A,B,C,D四点共圆，且AC为直径、
在中，,
由余弦定理得，
∴
∴（其中为圆的半径）.选D
3、C
【解析】分析：由奇偶性可得，化为，从而可得结果.
详解：∵是上的偶函数，
则，
即，
即成立，
∴，
又∵，
∴．故选C
点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
4、C
【解析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则
故选：C
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】
根据交集直接计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
6、B
【解析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长.
【详解】∵圆心角为，
∴ 圆心角的弧度数为，又扇形的半径为2，
∴ 该扇形的弧长，
故选：B.
7、D
【解析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即
故选：D
8、D
【解析】根据指数函数与对数函数的图象判断
【详解】因为，，是减函数，是增函数，只有D满足
故选：D
9、A
【解析】利用并集概念进行计算.
【详解】.
故选：A
10、B
【解析】
时，，故选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由以线段为直径的圆经过原点,则可得,
求得参数的值，然后由中点坐标公式求所求圆的圆心，用两点距离公式求所求圆的直径，
再运算即可.
【详解】解：由题意有,，
又以线段为直径的圆经过原点,
则,
则，解得，
即，
则的中点坐标为，即为，
又，
即该圆的标准方程为，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆的性质及以两定点为直径的圆的方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
12、32
【解析】在正四棱锥的高和斜高所在的直角三角形中计算出斜高后，根据三角形的面积公式即可求出侧面积.
【详解】因为正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为，
所以斜高为 cm，所以该正四棱锥的侧面积等于 cm2
故答案为：32.
【点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，考查了求正四棱锥的侧面积，属于基础题.
13、2
【解析】，令，易得函数为奇函数，则，从而可得出答案.
【详解】解：

，
令，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，即，
所以，
即.
故答案为：2.
14、 ①. ②.##
【解析】算出点从最高点到第一次入水的圆心角，即可求出对应时间；由题意求出关于的表达式，代值运算即可求出对应.
【详解】
如图所示，当第一次入水时到达点，由几何关系知，又圆的半径为3，故，此时轮子旋转的圆心角为：，故；
由题可知，即，
当时，.
故答案为：；
15、或
【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.
当直线存在斜率时，设直线的方程为
所以
故直线的方程为或.故填或.
16、或
【解析】设所求直线方程为 ，将点代入上式可得或.
考点：直线方程

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）分钟.
【解析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）由图可求出，令，即可求出单调递减区间；
（2）由题可得，则可求得值域.
【详解】(1)由题图，知，
所以，
所以.
将点(－1，0)代入，得.
因为，所以，
所以.
令,
得.
所以的单调递减区间为.
(2)当时，，
此时，则，
即的值域为.
【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式方法：
（1）根据图象的最值可求出A；
（2）求出函数的周期，利用求出；
（3）取点代入函数可求得.
19、（1）；（2）且.
【解析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；
（2）根据夹角为钝角则数量积为负数，求得的范围；再排除向量与不为反向向量对应参数的范围，则问题得解.
【详解】（1）因，所以，
即，又，，所以，
所以，又，
所以向量、的夹角是.
（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，
且向量与不反向共线，
即，
又、夹角为，所以，
所以，解得，
又向量与不反向共线，
所以，解得，
所以的取值范围是且.
【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角，以及由夹角范围求参数范围，属综合基础题.
20、（1）；（2）-1，2；（3）
【解析】（1）利用配方法求二次函数值域即可；
（2）由的零点即是的根，再解方程即可；
（3）由“三个二次”的关系，即是函数的图象在y轴下方，观察图像即可得解.
【详解】解：（1）将函数化为完全平方式，得，
故函数的值域；
（2）的零点即是的根，令，解方程得方程的根为-1和2，故得函数的零点-1，2；
（3）由图得即是函数图象在y轴下方，时x的取值范围即在两根之间，
故x的取值范围是.

【点睛】本题考查了二次函数值域的求法，重点考查了“三个二次”的关系，属中档题.
21、（1）
（2），
【解析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出和的值即可，
（2）根据函数图象变换关系，求出以及的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可
【小问1详解】
解：①是偶函数；
②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
③相邻两条对称轴之间距离为
若选择①②，
由①是偶函数，
即，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
则，得，即
选择①③：
由①是偶函数，
即，
由③知：相邻两条对称轴之间距离为
，即，则，则，则
若选②③：
③知：相邻两条对称轴之间距离为
，即，则，则，则，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
，得，则，
综上
【小问2详解】
解：依题意，将函数的图象向右平移个单位，得，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，
可得，
所以，
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
令，可得，令，，则，△，
则关于的二次方程必有两个不等的实根，，，且，则，异号，
①当，且时，则方程和在区间，均有偶数个根，从而在区间，有偶数个根，不符合题意；
②当，且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意
同理，当且时，从而方程在有偶数个根，不合题意
③当，，当时，只有一根，有两根，所
以关于的方程在有三个根，由于，
则方程在只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实解，在区间上有两个根
所以关于的方程在区间上有2020个根．在区间上有2022个根．不合题意
④当时，则，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根
由于方程在区间上有两个实数根，在区间上只有一个实数根
因此关于的方程在上有2021个根，
在区间上有2022个根，
因此
所以解得，