上海市闵行区七宝中学2026届数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

上海市闵行区七宝中学2026届数学高一第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《九章算术》中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=×（弦×矢+矢）．弧田（如图1）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为2米的弧田（如图2），则这个弧田面积大约是（）平方米．（，结果保留整数）

A.2 B.3
C.4 D.5
2．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则
A.最大值为2，且图象关于点对称
B.周期为，且图象关于点对称
C.最大值为2，且图象关于对称
D.周期为，且图象关于点对称
5．若，则的值为　　
A. B.
C.2 D.3
6．下列各式正确是
A. B.
C. D.
7．给定已知函数.若动直线y=m与函数的图象有3个交点，则实数m的取值范围为
A. B.
C. D.
8．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）
A. B.10
C. D.5
9．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）
A. B.
C.2 D.
10．在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则

A.点必在直线上 B.点必在直线上
C.点必在平面外 D.点必在平面内
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，且，则的最小值为__________.
12．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.
13．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________

14．函数的定义域是____________.
15．已知，且，写出一个满足条件的的值：______.
16．已知，且，则=_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集U＝R，集合，
（1）当时，求；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围
18．已知，，且
（1）求函数的解析式；
（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值
19．如图，射线、分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交、于、两点，当的中点恰好落在直线上时，求直线的方程

20．已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立.
21．已知定义域为的函数是奇函数
（1）求实数，的值；
（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先由已知条件求出，然后利用公式求解即可
【详解】因为，所以，
在中，，所以,
所以，
所以这个弧田面积为，
故选：A
2、C
【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.
【详解】解：，
即，
即
又
当且仅当“”，即“”时等号成立，
即，
故.
故选：C.
3、B
【解析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.
【详解】函数、在区间上为减函数，
函数在区间上为增函数，
函数在区间上不单调.
故选：B.
4、A
【解析】

，∵，∴，则的最大值为；∵，∴周期；当时，图象关于某一点对称，∴当，求出，即图象关于对称，故选A
考点：三角函数的性质．
5、A
【解析】利用同角三角函数的基本关系，把要求值的式子化为，即可得到答案.
【详解】由题意，因为，所以，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
6、D
【解析】对于，，，故，故错误；
根据对数函数的单调性，可知错误
故选
7、B
【解析】画出函数的图像以及直线y=k的图像，根据条件和图像求得k的范围。
【详解】设，由题可知，当，即或时，；当，即时，，因为，故当时，，当时，，
做出函数的图像如图所示，直线y=m与函数有3个交点，可得k的范围为（4,5）.

故选：B
【点睛】本题考查函数图像与直线有交点问题，先分别求出各段函数的解析式，再利用数形结合的方法得到参数的取值范围。
8、A
【解析】由向量的线性运算，求得，根据三点共线，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由，，
可得，
因为，，三点共线，所以，
所以存在唯一的实数，使得，即，
所以，解得，.
故选：A.
9、A
【解析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理，
求出的值，解方程即可求解.
【详解】由题可知加密密钥为，
由已知可得，当时，，
所以，解得，
故，显然令，即，
解得，即
故选：A.
10、B
【解析】由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上
【详解】如图：连接EH、FG、BD，
∵EH、FG所在直线相交于点P，
∴P∈EH且P∈FG，
∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，
故选B

【点睛】本题考查公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用已知条件凑出，再根据“”的巧用，
最后利用基本不等式即可求解.
【详解】由，得，即.
因为所以，,则
=
，
当且仅当即时，等号成立.
所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
12、
【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数对一切x，满足，
所以，，
令，则，即，
所以等价于，
因为函数是定义在上的严格增函数，
所以，解得
所以不等式的解集为
故答案为：
13、
【解析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式
【详解】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，

，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
14、
【解析】利用对数函数的定义域列出不等式组即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15、0（答案不唯一）
【解析】利用特殊角的三角函数值求解的值.
【详解】因为，所以，，则，或，，同时满足即可.
故答案为：0
16、
【解析】由同角三角函数关系求出，最后利用求解即可.
【详解】由，且得
则，
则.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）
【解析】（1）化简集合B，根据补集、并集的运算求解；
（2）由条件转化为A⊆B，分类讨论，建立不等式或不等式组求解即可.
【小问1详解】
当时，，，
或，
或
【小问2详解】
由A∩B＝A，得A⊆B，
当A＝∅时，则3a＞a+2，解得a＞1，
当A≠∅时，则，解得，
综上，实数a的取值范围是
18、（1）（2）
【解析】（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为的形式；（2）由定义域可得到的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值
试题解析：（1）
即

（2）由， ， ，
，
，
此时，
考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质
19、
【解析】先求出、所在的直线方程，根据直线方程分别设A、B点坐标，进而求出的中点C的坐标，利用点C在直线上以及A、B、P三点共线列关系式解出B点坐标，从而求出直线AB的斜率，然后代入点斜式方程化简即可.
【详解】解：由题意可得，
，
所以直线，
设，，
所以的中点
由点在上，且、、三点共线得

解得，所以
又，所以
所以，
即直线的方程为
【点睛】知识点点睛：（1）中点坐标公式：，则AB的中点为；
（2）直线的点斜式方程：.
20、证明见解析，时，等号成立.
【解析】根据重要不等式及均值不等式证明即可.
【详解】证明：因为均为正数，所以.
所以①
故，
而.②
所以原不等式成立.当且仅当①式和②式等号成立，
即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立.
21、（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.
【解析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.
（2）化简得到，，计算，得到是增函数.
（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.
【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，
即，所以．又由，即，
所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.
（2）在上单调递增.证明：由（1）知，
任取，则，
因为函数在上是增函数，且，所以，
又，
所以，即，
所以函数R上单调递增.
（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，
因为在上是增函数，由上式推得，
即对一切有恒成立，设，
令，
则有，，所以，
所以，即的取值范围为.