黑龙江省哈尔滨市第八中学2025年数学高一上期末经典试题含解析.doc

黑龙江省哈尔滨市第八中学2025年数学高一上期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
3．已知命题p：，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
4．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象由的图象向右平移个单位长度得到，则（）

A. B.
C. D.
5．下列关系中正确个数是（）
①②③④
A.1 B.2
C.3 D.4
6．若，则为（）
A. B.
C. D.
7．若，则关于的不等式的解集是（）
A. B.或
C.或 D.
8．下列向量的运算中，正确的是
A. B.
C. D.
9．函数与的图象在上的交点有（）
A.个 B.个
C.个 D.个
10．对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是　　
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，α为锐角，则___________.
12．已知集合，，且，则实数的取值范围是__________
13．的值是________
14．函数在区间上的值域是_____.
15．已知，，则的值为___________.
16．函数的单调递减区间为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.

（1）求，的值；
（2）求的值.
18．画出函数f(x)=|log3x|的图像，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.
19．已知函数，其中
(1)求函数的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)若，求使成立的的集合
20．（1）化简：
（2）求值：
21．已知幂函数在上单调递增，函数
（1）求实数m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数k的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，即可得出结论
【详解】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，设线段AB1上的切点为E，AC1∩面A1BD＝O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E=r，则，由O1E∥O2F知，则圆柱的高为，当且仅当r=取等号
故选A

【点睛】本题考查求圆柱侧面积的最大值，考查正方体与圆柱的内切问题，考查学生空间想象与分析解决问题的能力，属于中档题
2、A
【解析】，设 ，，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.
3、C
【解析】全称命题的否定定义可得.
【详解】根据全称命题的否定，：，.
故选：C.
4、A
【解析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.
【详解】由图象可得解得，
因为，所以．又因为，所以
因为，所以，，即，．又因为，所以．．
故选：A.
5、A
【解析】根据集合的概念、数集的表示判断
【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确
故选：A
【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键
6、A
【解析】根据对数换底公式，结合指数函数与对数函数的单调性直接判断.
【详解】由对数函数的单调性可知，即，且，
，且，
又，即，所以，
又根据指数函数的单调性可得，
所以，
故选：A.
7、D
【解析】判断出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】因，所以，即.
所以，解得.
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于简单题.
8、C
【解析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.
9、B
【解析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.
详解】当时，解方程，得，整理得，
得或.
解方程，解得、、、或.
解方程，解得、、.
因此，方程在上的解有个.
故选B.
【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.
10、B
【解析】由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象判断.
【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；
令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；
把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；
把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由同角三角函数关系和诱导公式可得结果.
【详解】因为，且为锐角，则，所以，故.
故答案为：.
12、
【解析】，是的子集，故.
【点睛】本题主要考查集合的研究对象和交集的概念，考查指数不等式的求解方法，考查二次函数的值域等知识.对于一个集合，首先要确定其研究对象是什么元素，是定义域还是值域，是点还是其它的元素.二次函数的值域主要由开口方向和对称轴来确定.在解指数或对数不等式时，要注意底数对单调性的影响.
13、
【解析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值求解.
【详解】解：

故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值，解答的关键是熟练记忆公式，属于基础题.
14、
【解析】结合的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知：在区间上递增，
最小值为，最大值为，
所以函数在区间上的值域是.
故答案为：
15、
【解析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商数关系，将目标式化为即可求值.
【详解】.
故答案为：.
16、
【解析】利用对数型复合函数性质求解即可.
【详解】由题知：，解得或.
令，则为减函数.
所以，为减函数，为增函数，
，为增函数，为减函数.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）先利用任意角的三角函数的定义求出，再利用同角三角函数的关系可求得答案，
（2）先利用诱导公式化简，再代值计算即可
【小问1详解】
因为在平面直角坐标系中, 角，的顶点均与坐标原点重合，终边分别与单位圆交于两点，且两点的纵坐标分别为，，
又因为，，
根据三角函数的定义得：，，
所以，，
所以，.
【小问2详解】

18、图象见解析，值域为[0，+∞)，单调递增区间[1，+∞)，单调递减区间是(0，1)，最大值为2.
【解析】由于f(x)=|log3x|=所以在[1，+∞)上f(x)图像与y=log3x的图像相同，在(0，1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称，由此可画出函数的图像，再结合函数的图像可求出函数的值域和单调区间，及最值
【详解】因为f(x)=|log3x|=
所以在[1，+∞)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同，在(0，1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称，据此可画出其图像，如图所示.

由图像可知，函数f(x)的值域为[0，+∞)，单调递增区间是[1，+∞)，单调递减区间是(0，1).
当x∈时，f(x)在区间上是单调递减的，在(1，6]上是单调递增的.
又f=2，f(6)=log36<2，
故f(x)在区间上的最大值为2.
【点睛】此题考查含绝对值对数型函数的图像和性质，考查数形结合的思想，属于基础题
19、（1）（2）奇函数（3）
【解析】(本小题满分14分)
(1)由，得
∴函数的定义域为.…………………4分
（2）函数的定义域为关于原点对称，
∵
∴是奇函数．……………………………………………………………8分
(3)由，得.…10分
∴，
由得，
∴…………………12分
得，解得.
∴使成立的的集合是．……………………………………14分
20、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式化简求值即可得答案；
（2）根据指数运算法则运算求解即可.
【详解】解：（1）
（2）

21、（1）
（2）
【解析】（1）由幂函数定义列出方程，求出m的值，检验函数单调性，舍去不合题意的m的值；（2）在第一问的基础上，由函数单调性得到集合，由并集结果得到，从而得到不等式组，求出k的取值范围.
【小问1详解】
依题意得：，∴或
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去
当时，上单调递增，符合要求，故.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，函数和均单调递增
∴集合，
又∵，∴，∴，
∴，
∴实数k的取值范围是.