2026届云南省保山第一中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2026届云南省保山第一中学高二上数学期末学业水平测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（）

A.在内是增函数
B.在内是增函数
C.在时取得极大值
D.在时取得极小值
2．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（）
A.里 B.里
C.里 D.里
3．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()
A.0 B.1
C.2 D.3
4．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
5．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
6．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()
A. B.
C. D.
7．已知命题：；：若，则，则下列判断正确的是（）
A.为真，为真，为假 B.为真，为假，为真
C.为假，为假，为假 D.为真，为假，为假
8．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（）
A.6 B.7
C. D.5
9．过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（）
A.28 B.
C. D.
10．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）

A.30° B.45°
C.60° D.90°
11．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A. B.
C. D.
12．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）
A. B.
C. D.与相交但不垂直
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线在点处的切线的斜率为，则______
14．已知实数满足，则的取值范围是____________
15．已知函数在处有极值．则=________
16．已知数列满足0，，则数列的通项公式为____，则数列的前项和______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.

（1）设，，求这个几何体的表面积；
（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
18．（12分）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由
19．（12分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围
20．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点
（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；
（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程
21．（12分）已知幂函数在上单调递减，函数的定义域为集合A
（1）求m的值；
（2）当时，的值域为集合B，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围
22．（10分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）.

（1）证明图2中的水面也是平行四边形；
（2）当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角的大小.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
2、C
【解析】建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解
【详解】记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，
故选：C
3、A
【解析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.
详解】设过点的直线方程为或，
①当斜率存在时有，
得(*)
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：
，即
又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，
又为线段的中点，
，即，
，使但使，
因此当时，方程①无实数解
故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在
②当时，经过点的直线不满足条件.
综上，符合条件的直线不存在
故选：A
4、A
【解析】将直线代入椭圆方程整理得关于的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到，再由，，的关系和离心率公式，即可求出离心率.
【详解】解：将直线代入椭圆方程得，
，即，
设，，，，则，
即中点的横坐标是，纵坐标是，
由于线段的中点在直线上，则，又，
则，，即椭圆的离心率为.
故选：A
5、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
6、A
【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.
【详解】由题意得，即，
由几何概型得，在定义域内任取一点，
使的概率是.
故选：A.
7、D
【解析】先判断出命题，的真假，即可判断.
【详解】因为成立，所以命题为真，
由可得或，所以命题为假命题，
所以为真，为假，为假.
故选：D.
8、A
【解析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以
故选：A

9、C
【解析】根据双曲线方程得，，由双曲线的定义，证出，结合
即可算出△的周长
【详解】双曲线方程为，
，
根据双曲线的定义，得
，，
，，
相加可得，
，，
因此△的周长，
故选：C
10、D
【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.
【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，

易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，
取的中点N，易证，
则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，
在中，，，
故
故选：D
11、D
【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D
12、B
【解析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论
【详解】因为，，
所以，
所以∥，
因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】对求导，根据题设有且，即可得目标式的值.
【详解】由题设，且定义域为，则，
所以，整理得，又，
所以，两边取对数有，得：，即.
故答案为：.
14、
【解析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.
【详解】当，表示椭圆第一象限部分；
当，表示双曲线第四象限部分；
当，表示双曲线第二象限部分；
当，不表示任何图形；
以及两点，
作出大致图象如图：

曲线上的点到的距离为，
根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，
与距离为2，
曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，
考虑曲线第一象限的任意点设为到的距离
，当时取等号，
所以，
则的取值范围是
故答案为：
15、4
【解析】根据极值点概念求解
【详解】，由题意得，，经检验满足题意
故答案为：4
16、 ①. ②.
【解析】第一空：先构造等比数列求出，即可求出的通项公式；第二空：先求出，令，通过错位相减求出的前项和为，再结合等差数列的求和公式及分组求和即可求解.
【详解】第一空：由可得，又，则是以1为首项，2为公比的等比数列，
则，则；
第二空：，设，前项和为，则，
，两式相减得，
则，又，则.
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；
（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可
【小问1详解】
上下两个扇形的面积之和为：
两个矩形面积之和为：4
侧面圆弧段的面积为：
故这个几何体的表面积为：
【小问2详解】
如下图，将直线平移到下底面上为

由，且，，可得：面
则
而G是弧DF的中点，则
由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则
则直线与直线的夹角为
18、（1）；
（2）直线的斜率为定值，且定值为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程.
（2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值.
【小问1详解】
由题意，则，又，
所以椭圆C方程为，代入有，解得，
所以，故椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题设易知：，
法一：设直线为，
由，消去y，整理得，
因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，
故M为，用代替k，得N为，
所以，故直线的斜率为定值
法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，
由，消去y，整理得，
所以，而，
又，代入整理得，
所以，即，
若，则直线过点T，不合题意，
所以．即，故直线的斜率为定值.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.
19、（1）；（2）
【解析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；
（2）将代入，得
由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则
代入可求得的范围
【详解】(1)设双曲线的方程为，
则，再由，得
故的方程为
(2)将代入，
得
由直线与双曲线交于不同的两点，得

①
设
则

又，得，
，即，解得②
由①②得＜k2＜1，
故的取值范围
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解
（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径
【小问1详解】
∵圆C：，
∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，
∵直线y＝x，即x－y＝0，
∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，
∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝
【小问2详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，
∴x2－2x－7＝0，
则，|x1－x2|＝＝，
∴圆心的横坐标为x＝，
∵圆心在直线y＝x+1上，
∴圆心为(1,2)，
∴半径r＝，
故圆M的方程为
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解；
（2）利用根式函数的定义域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.
【小问1详解】
解：因为幂函数在上单调递减，
所以，
解得.
【小问2详解】
由，得，
解得，
所以，
当时的值域为，
所以，
因为是成立的充分不必要条件，
所以是A的真子集，
，
解得.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由水的体积得出，进而得出，，从而证明图2中的水面也是平行四边形；
（2）在平面内，过点作，交于，由四边形是平行四边形，得出侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，再由直角三角形的边角关系得出其夹角.
【小问1详解】
由题意知，水的体积为，
如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则，水的体积为，
，即，
，故四边形为平行四边形，即，且
又，，，
四边形为平行四边形，即图2中的水面也是平行四边形；
【小问2详解】
在平面内，过点作，交于，则四边形是平行四边形，，
，
侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角，
即为所求，而，
在中，，
侧面与桌面所成角的为