2026届天成大联考数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2026届天成大联考数学高一第一学期期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，三点共线，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A.{x|x>2} B.
C.{或x>2} D.{或x>2}
3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向左平移
4．已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，则（　　）
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
5．若关于的不等式的解集为，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
6．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）
A. B.
C. D.
7．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于
A. B.
C. D.
8．若函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，则称函数为“上的优越函数”．如果函数是“上的优越函数”，则实数的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
9．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（）
A. B.
C. D.
10．下列说法中，正确的是（）
A.若，则
B.函数与函数是同一个函数
C.设点是角终边上的一点，则
D.幂函数的图象过点，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数（其中）在区间上不单调，则的取值范围为__________.
12．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________
13．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________

14．函数中角的终边经过点，若时，的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
15．设函数，则____________
16．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的图像关于坐标原点对称.
（1）求的值，并求出函数的零点；
（2）若存在，使不等式成立，求实数取值范围.
18．定义在上的奇函数，已知当时，
求实数a的值；
求在上解析式；
若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围
19．已知函数
（1）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）令，若对，，都有成立，求实数取值范围
20．已知函数
（1）求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数；
（2）已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.
21．已知函数.
(1)若函数的定义域为，求的取值范围；
(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先求出，从而可得关于的方程，故可求的值.
【详解】因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
2、C
【解析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.
详解】依题意，不等式，
又在上是增函数，所以，
即或，解得或.
故选：C.
3、B
【解析】先将，进而由平移变换规律可得解.
【详解】函数，
所以只需将向右平移可得.
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移变换，解题的关键是将函数名统一，需要利用诱导公式，属于中档题.
4、D
【解析】由对数和指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以
故选：D
5、A
【解析】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，求出、的值，然后利用二次函数的基本性质可求得在区间上的最小值.
【详解】由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、，
则，解得，则，
故当时，函数取得最小值，即.
故选：A.
6、A
【解析】球的内接正方体的对角线就是球的直径，正方体的棱长为a，球的半径为r，则，求出正方体棱长，再求球半径即可
【详解】解：设正方体的棱长为a，球的半径为r，
则，所以
又因

所以
所以
故选：A
【点睛】考查球内接正方体棱长和球半径的关系以及球表面积的求法，基础题.
7、C
【解析】由题意得，
∴
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，解得
故选：C
8、D
【解析】由于是“上的优越函数”且函数在上单调递减，由题意得，，问题转化为与在时有2个不同的交点，结合二次函数的性质可求
【详解】解：因为是“上的优越函数”且函数在上单调递减，
若存在区间，使在上的值域为，
由题意得，，
所以，，
即与在时有2个不同的交点，
根据二次函数单调性质可知，即
故选：D
9、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；
是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，
故选：C.
10、D
【解析】A选项，举出反例；B选项，两函数定义域不同；C选项，利用三角函数定义求解；D选项，待定系数法求出解析式，从而得到答案.
【详解】A选项，当时，满足，而，故A错误；
B选项，定义域为R，定义域为，两者不是同一个函数，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，设，将代入得：，解得：，所以，D正确.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】化简f(x)，结合正弦函数单调性即可求ω取值范围.
【详解】，
x∈，
①ω＞0时，
ωx∈，f(x)在不单调，则，则；
②ω＜0时，
ωx∈，f(x)在不单调，则，则；
综上，ω的取值范围是.
故答案为：.
12、 ①.4 ②.2
【解析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可.
【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，
，
此时，，
故答案为：；
13、24:25
【解析】设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.
【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，
设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，
如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，
所以三角形的面积等于三角形的面积，即，

所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.
故答案为：24:25.
14、（1）
（2），
【解析】（1）根据角的终边经过点求，再由题意得周期求即可；
（2）根据正弦函数的单调性求单调区间即可.
【小问1详解】
因为角的终边经过点，
所以，
若时，的最小值为可知
，
∴
【小问2详解】
令，
解得
故单调递增区间为：，
15、2
【解析】利用分段函数由里及外逐步求解函数的值即可.
【详解】解：由已知，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.
16、
【解析】当，时，设，把点代入能求出解析式；当，时，设，把点、代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.
详解】当x∈（0，12]时，设，
过点（12，78）代入得，a
则f（x），
当x∈(12，40]时，
设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）
得，即，
由题意得，或
得4＜x≤12或12＜x＜28，
所以4＜x＜28，
则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，
故答案为：（4，28）
【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）,（2）
【解析】（1）由题设知是上的奇函数.所以，得（检验符合），又方程可以化简为，从而.（2）不等式 有解等价于在上有解，所以考虑在上的最小值，利用换元法可求该最小值为，故.
（1）由题意知是上的奇函数.所以，得.，，由，可得，所以，，即的零点为.
（2），由题设知在内能成立，即不等式在上能成立.即在内能成立，令，则在上能成立，只需，令，对称轴，则在上单调递增.∴，所以.
.点睛：如果上的奇函数中含有一个参数，那么我们可以利用来求参数的大小.又不等式的有解问题可以转化为函数的最值问题来处理.
18、（1）；（2）；（3）.
【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得，解可得的值，验证即可得答案；当时，，求出的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；根据题意，若存在，使得成立，即在有解，变形可得在有解设，分析的单调性可得的最大值，从而可得结果
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，
则，得经检验满足题意；
故；
根据题意，当时，，
当时，，
又是奇函数，则
综上，当时，；
根据题意，若存在，使得成立，
即在有解，
即在有解
又由，则在有解
设，分析可得在上单调递减，
又由时，，
故
即实数m的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，以及指数函数单调性的应用，属于综合题
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由单调性定义证明；
（2）换元，设，，由（1）求得的范围，然后由二次函数性质求得最大值和最小值，由最大值减去最小值不大于可得的范围
【小问1详解】
证明：设，，且，
则，
当时，∴，，
∴，∴，即，
∴函数在上单调递减
当时，∴，，∴，∴，即，
∴函数在上单调递增
综上，函数在上单调递减，在上单调递增
【小问2详解】
解：由题意知，
令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，∵函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递减，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以，，
又∵对，，都有恒成立，
∴，即，解得,
又∵，∴k的取值范围是
20、（1）见解析；
（2）存在，为；
（3）2.
【解析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
假设函数的图像存在对称中心，
(2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，；
(3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求
【小问1详解】
设，则，
∴，
∴函数是上的严格减函数；
【小问2详解】
假设函数的图像存在对称中心，
则恒成立，
整理得恒成立，
∴，
解得，，
故函数的对称中心为；
【小问3详解】
∵对任意,，都存在,及实数，使得，
∴，
即，
∴，
∴，
∵,，∴,，
∵,，∴,,，
∴，即，
∴，
∴，即的最大值为2
21、（1）；（2）
【解析】（1）等价于在上恒成立.解得的取值范围是；（2）等价于在上恒成立，所以的取值范围是.
试题解析：
(1)函数的定义域为，即在上恒成立.
当时，恒成立，符合题意；
当时，必有.
综上，的取值范围是.
(2)∵，
∴.
对任意，总有，等价于
在上恒成立
在上恒成立.
设，则（当且仅当时取等号）.
，在上恒成立.
当时，显然成立
当时，在上恒成立.
令，.只需.
∵在区间上单调递增，
∴.
令 .只需.
而，且∴.故.
综上，的取值范围是.