2026届山东省鄄城县第一中学探究部数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2026届山东省鄄城县第一中学探究部数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
2．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，则b等于（ ）
A. B.
C. D.
4．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
5．已知为等比数列的前n项和，，，则（）
A.30 B.
C. D.30或
6．过点且垂直于的直线方程为（）
A. B.
C. D.
7．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）
A. B.3
C. D.6
8．某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：
学科类别
文学
新闻
经济
政治
人数
400
300
100
200
若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（ ）
A.15，20，10，5 B.15，20，5，10
C.20，15，10，5 D.20，15，5，10
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为（）
A. B.
C. D.
10．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是
A. B.
C. D.
12．已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.椭圆
C.双曲线 D.双曲线的一支
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________
14．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，若，则点到平面的距离为___________.

15．双曲线的离心率为__________________.
16．已知椭圆 ()中，成等比数列，则椭圆的离心率为 _______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知正项数列的首项为，且满足，
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和
18．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆C上
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试探究直线上是否存在定点Q，使得为定值．若存在，求出定点Q的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由
19．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）年世界人工智能大会已于年月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠距离点为米.

（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
21．（12分）如图，点分别在射线，上运动，且

（1）求；
（2）求线段的中点M的轨迹C的方程；
（3）直线与，轨迹C及自上而下依次交于D，E，F，G四点，求证：
22．（10分）已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.
【详解】函数
则
因为函数在上有且仅有一个极值点
即在上有且仅有一个零点
根据函数零点存在定理可知满足即可
代入可得
解得
故选:C
【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.
2、A
【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
3、C
【解析】先由cos A的值求出，进而求出，用正弦定理求出b的值.
【详解】因为cos A＝，所以，
所以

由正弦定理：，得：.
故选：C
4、D
【解析】设直线倾斜角为，则，即可求出.
【详解】设直线的倾斜角为，则，又因为，所以.
故选：D.
5、A
【解析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.
【详解】由得，则等比数列的公比，
则得，令，则即，
解得或（舍去），，则
故选：A
6、B
【解析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.
【详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，
于是有：，即，
所以所求直线方程为.
故选：B
7、C
【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.
【详解】设，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故选：C
8、D
【解析】利用分层抽样的等比例性质求抽取的样本中所含各小组的人数.
【详解】根据分层抽样的等比例性质知：
文学小组抽取人数为人；
新闻小组抽取人数为人；
经济小组抽取人数为人；
政治小组抽取人数为人；
故选：D.
9、A
【解析】由余弦定理计算求得角,根据三角形面积公式计算即可得出结果.
【详解】由余弦定理得，,∴，
∴，
故选：A
10、C
【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
故选：C
11、C
【解析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.
又直线过点，故方程为 .
代入双曲线方程，得点的坐标为 .
同理可得，点的坐标为.
故的面积为,选C.
12、D
【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.
【详解】圆圆心为，半径为，
依题意可知，
结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.
【详解】因为点在椭圆上，
所以，
又，所以，
因，
在中，由，根据余弦定理可得
，
解得（负值舍去）
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.
14、
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
故答案为：.
15、
【解析】根据双曲线方程确定a,b,c的值，求出离心率.
【详解】由双曲线可得：，
故，
故答案为：
16、
【解析】根据成等比数列，可得，再根据的关系可得，
然后结合的自身范围解方程即可求出
【详解】∵成等比数列，∴，
∴，∴，
∴，又，∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算以及等比数列定义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由递推关系式化简及等比数列的的定义证明即可；
（2）根据裂项相消法求解即可得解.
【小问1详解】
证明：由得，
而且，
则，
即数列为首项，公比为的等比数列
【小问2详解】
由上可知，所以，

18、（1）
（2）存在，定点的坐标为，实数的值为
【解析】（1）由题意可得，再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设在直线上存在定点，当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数，再计算为常数可求出，从而可求得，当直线斜率不存在时，可求出两点的坐标，从而可求得的值
【小问1详解】
由题意知
结合，可得，
所以椭圆C的标准方程为，
【小问2详解】
设在直线上存在定点，使为定值，
①当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，·
由得，则，，
所以

为常数
则，解之得，
即定点为，则
②当直线斜率不存在时，即动直线方程为，不妨设，，
此时也成立
所以，存在定点使为定值，即
19、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，.
因为，由，可得.
①当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，由可得，由可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为
【小问2详解】
解：当且时，由，可得，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，.
20、（1）；（2）没有.
【解析】（1）设机器鼠位置为点，由题意可得，即，
可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，分析取值，即得解双曲线的方程，由可得P点坐标.
（2）转化机器鼠与直线最近的距离为与直线平行的直线与双曲线相切时，平行线间的距离，设的方程为，与双曲线联立，求出的值，再利用平行线间的距离公式，即得解
【详解】（1）设机器鼠位置为点，、，
由题意可得，即，
可得的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支，
设其方程为：（，），则、、，
则的轨迹方程为：（），
时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；
（2）由题意，直线，设直线的平行线的方程为，
联立，可得：，
，解得，
又，∴，∴，
即：与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，
此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.
21、（1）2 （2）
（3）证明见详解
【解析】（1）用两点间的距离公式和三角形的面积公式，结合已知直接可解；
（2）根据中点坐标公式，结合（1）中结论可得；
（3）要证，只需证和的中点重合，直接或利用韦达定理求出中点横坐标，证明其相等即可.
【小问1详解】
记直线的倾斜角为，则，易得
所以
因为，所以，
整理得：
【小问2详解】
设点M的坐标为，则即，
由（1）知，所以，即
【小问3详解】
要证，只需证和的中点重合，
记D，E，F，G的横坐标分别为，易知直线的斜率（当时与渐近线平行或重合，此时与双曲线最多一个交点）
则解方程组，得
解方程组，得
将代入，得
所以
因为
所以
所以和的中点的横坐标相等，
所以和的中点重合，
记其中点为N，则有，即
22、 (1) (2) ，或
【解析】（1）由椭圆的性质可知：，解得a和c的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得：，，λ，根据向量的坐标坐标，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得实数m的取值范围
【详解】(1)由已知，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知,设，
联立方程组，消得，
由韦达定理得 ①②
因为，所以，
所以③，将③代入①②
，，
消去得，
所以.
因为，所以，
即，
解得，所以，或.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的坐标表示，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题