山东省博兴县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

山东省博兴县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数满足，当时，，则（ ）
A.0 B.
C. D.1
2．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
3．若是的重心，且（，为实数），则（ ）
A. B.1
C. D.
4．设，则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．的值为（）
A. B.
C. D.
6．已知，则（ ）
A. B.
C.2 D.
7．已知，且，则
A. B.
C. D.
8．直线与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）
A.16 B.8
C.4 D.2
10．已知a，b为实数，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分若弧田所在圆的半径为1，圆心角为，则此弧田的面积为____________.

12．函数的最大值为__________
13．函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____

14．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________
15．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.
16．若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则的值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中
①求的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值
18．证明：
（1）；
（2）
19．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
20．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
21．设集合，，.
（1）求，；
（2）若，求；
（3）若，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据给定条件依次计算并借助特殊角的三角函数值求解作答.
【详解】因函数满足，且当时，，
则 ，
所以.
故选：A
2、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题
3、A
【解析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.
【详解】若与边交点为，则为边上的中线，
所以，
又因为，
所以
故选:A
【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算.
4、A
【解析】解绝对值不等式求解集，根据充分、必要性的定义判断题设条件间的充分、必要关系.
【详解】由，可得，
∴“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
5、A
【解析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
6、B
【解析】先求出，再求出，最后可求.
【详解】因为，故，
因为，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故选：B
7、A
【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值
【详解】解：∵tan（α），则tanα，
∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），
可得 sinα
∴
2sinα＝2（）
故选A
点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题
8、D
【解析】如图所示：
当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：m=；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即，
解得：m=舍去负值.
则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为.
故选D
9、A
【解析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A
10、B
【解析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为，所以在上单调递减，
当时，和不一定有意义，
所以“”推不出“”；
反之，，则，即，
所以“”可推出“”.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意所求面积，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即可.
【详解】易知为等腰三角形，腰长为，底角为，，
所以，
弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：
所以.
故答案为：.
12、
【解析】利用二倍角余弦公式，把问题转化为关于的二次函数的最值问题.
【详解】
，
又，
∴函数的最大值为.
故答案为：.
13、
【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出，再由函数过点求出.
【详解】，
，，解得，
则，因为函数过点，
所以，，解得
因为，所以， .
故答案为：
【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定A，b的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及
14、
【解析】根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
15、
【解析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.
【详解】设扇形的半径为r，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为.
故答案为：.
16、
【解析】由题可知是方程的两个不同实根，根据韦达定理可求出.
【详解】由题可知是方程的两个不同实根，
则，
.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）①（），②28毫克/立方米
【解析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可
（2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，
则当时，由，得，所以，
当时，由，得，，得，所以，
综上，，
所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时，
（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为
（毫克/立方米），
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为
（），
②（），

，当且仅当，即时取等号，
所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米
【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题
18、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】(1)利用三角函数的和差公式，分别将两边化简后即可；（2）利用 和2倍角公式构造出齐次式，再同时除以即可证明.
【小问1详解】
左边=
=
=
右边=
=
=
左边=右边，所以原等式得证.
【小问2详解】

故原式得证.
19、
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
20、（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数

在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
21、（1），（2）（3）
【解析】（1）先可求出，再利用交集，并集运算求解即可；
（2）由（1）得，然后代入，即可求得；
（3）由可得到，解不等式组求出的范围即可.
【详解】（1）由已知得，
所以，；
（2）由（1）得，
当时，，
所以.；
（3）因为，
所以，
解得.
【点睛】本题考查集合的交并补的运算，考查集合的包含关系的含义，是基础题.