2025年安徽省铜陵市浮山中学等重点名校数学高一第一学期期末预测试题含解析.doc

2025年安徽省铜陵市浮山中学等重点名校数学高一第一学期期末预测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，且，则　　
A. B.0
C. D.3
2．若，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
4．如图，在正三棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（）

A.30° B.45°
C.60° D.90°
5．已知,，则的值约为（精确到）（）
A. B.
C. D.
6．命题“，有”的否定是（）
A.，使 B.，有
C.，使 D.，使
7．如图，把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（ ）

A. B.
C. D.
8．关于函数的叙述中，正确的有（）
①的最小正周期为；
②在区间内单调递增；
③是偶函数；
④的图象关于点对称.
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
9．下列函数中在定义域上为减函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为

A.16+8 B.8+8
C.16+16 D.8+16
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____
12．设为锐角，若，则的值为_______.
13．已知，均为正数，且，则的最大值为____，的最小值为____.
14．直三棱柱ABC-A1B1C1，内接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，则球O的表面积______
15．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则__________

16．化简_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数最大值及相应的的值；
（2）求函数的单调增区间.
18．设全集为，,，求：
（1）
（2）
（3）
19．已知平面直角坐标系内四点，，，.
（1）判断的形状；
（2）A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由.
20．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
21．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】分别求和，联立方程组，进行求解，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，且，
，
则，
两式相加得且，
即，，
则，
故选D
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2、B
【解析】由，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，，
因此，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
3、D
【解析】根据圆心在直线上，设圆心坐标为，然后根据圆C与直线及都相切，由求解.
【详解】因为圆心在直线上，
设圆心坐标为，
因为圆C与直线及都相切，
所以，
解得，
∴圆心坐标为，
又，
∴，
∴圆的方程为，
故选：D.
4、C
【解析】取BC的中点E，∠DFE即为所求，结合条件即求.
【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，
则EF∥AB，∠DFE即为所求，

设，在正三棱锥中，，
故，
∴，
∴，即异面直线与所成角的大小为.
故选：C.
5、B
【解析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.
【详解】.
故选：B
6、D
【解析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确选项.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
∴原命题的否定为.
故选：D
7、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
【详解】
取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.
因为为等腰直角三角形，故，同理，
而，故平面，
而平面，故平面平面，
因为平面平面，平面，
故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，
所以.
在等腰直角形中，因为，，故，
同理，故为等边三角形，故.
故.
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
8、C
【解析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.
【详解】，
∴最小正周期，①错误；
令，则在上递增，显然当时，②正确；
，易知为偶函数，③正确；
令，则，，易知的图象关于对称，④错误；
故选：C
9、C
【解析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】对于A，由函数，定义域为，且在上递增，故A不符题意；
对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B不符题意；
对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C符合题意；
对于D，由函数，定义域为，且在上递增，故D不符题意.
故选：C
10、A
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体，
半圆柱底面半径为2，故半圆柱的底面积半圆柱的高
故半圆柱的体积为，长方体的长宽高分别为故长方体的体积为
故该几何体的体积为，选A

考点：三视图，几何体的体积

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.
当直线存在斜率时，设直线的方程为
所以
故直线的方程为或.故填或.
12、
【解析】由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果
【详解】∵为锐角，，∴，
∴，

故
，故答案为.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题
13、 ①. ②.##
【解析】利用基本不等式的性质即可求出最大值，再通过消元转化为二次函数求最值即可.
【详解】解：由题意，得4=2a+b≥2，当且仅当2a=b，即a=1，b=2时等号成立，
所以0<ab≤2，所以ab的最大值为2，
a2+b2=a2+(4-2a)2=5a2-16a+16=5(a-)2+≥，当a=，b=时取等号.
故答案为：，.
14、
【解析】利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解
【详解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1两两垂直，
可知其为长方体的一部分，
利用长方体外接球直径为其体对角线长，
可知其直径为，
∴=41π，
故答案为41π
【点睛】本题主要考查了三棱柱的外接球和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
15、3
【解析】由题意可知
故答案为3
16、-2
【解析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.
【详解】.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）时，；（2）.
【解析】（1）利用倍角公式对函数进行化简得：，进而得到函数的最大值及对应的的值;
（2）将代入的单调递增区间，即可得答案；
【详解】解：（1），
当，即时，；
（2）由题意得：，
函数的单调增区间为.
【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦函数的最值和单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
18、 (1) ;(2) ;(3) .
【解析】（1）根据集合的交集的概念得到结果；（2）根据集合的补集的概念得到结果；（3）先求AB的并集，再根据补集的概念得到结果.
解析：
（1）
（2）
（3）
19、（1）是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四点共圆；理由见解析
【解析】（1）利用两点间距离公式可求得,再利用斜率公式可得到,即可判断三角形形状；
（2）由（1）先求得的外接圆,再判断点是否在圆上即可
【详解】解：
（1）,,
,
又,
,即,
∴是等腰直角三角形
（2）A，B，C，D四点共圆；
由（1）,设的外接圆的圆心为,
则,即,
解得,此时,
所以的外接圆的方程为,
将D点坐标代入方程得,即D点在的外接圆上.
∴A，B，C，D四点共圆
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查斜率公式的应用,考查三角形的外接圆,考查圆的方程,考查运算能力
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连结，交点，连，推出//1，即可证明平面；
（2）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，证明
，得到 平面，然后证明平面 平面
试题解析：（1）连结，交点，连，则是的中点，
因为是的中点，故//.
因为平面，平面.
所以//平面.
（2）取的中点，连结，因为是的中点，
故//且 .
显然//，且 ，所以//且
则四边形是平行四边形.
所以//.
因为，所以
又，所以直线 平面.
因为//，所以直线 平面.
因为平面，所以平面 平面
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.