广东广州市增城区2026届数学高一第一学期期末达标检测试题含解析.doc

广东广州市增城区2026届数学高一第一学期期末达标检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
2．命题：“，”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
3．若，，，则（）
A. B.
C. D.
4．命题“任意实数”的否定是（）
A.任意实数 B.存在实数
C.任意实数 D.存实数
5．样本，，，的平均数为，样本，，，的平均数为，则样本，，，，，，，的平均数为
A B.
C. D.
6．设，给出下列四个结论：
①；②；③；④.
其中所有的正确结论的序号是
A.①② B.②③
C.①②③ D.②③④
7．已知函数以下关于的结论正确的是（）
A.若，则
B.的值域为
C.在上单调递增
D.的解集为
8．设，为正数，且，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
9．关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（）
A. B.
C. D.
10．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是3的概率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知命题“，”是真命题，那么实数a的取值范围是___________.
12．已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是________.
13．扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的面积为______
14．，，则的值为__________.
15．已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________

16．写出一个能说明“若函数满足，则为奇函数”是假命题的函数：______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（Ⅰ）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.
18．已知直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为6
（Ⅰ）若直线l过点（3，1），求原点O关于直线l对称点的坐标；
（Ⅱ）是否存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由
19．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.
（1）求直线AB方程；
（2）若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.
20．已知x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求元素x满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
21．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.

（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用充分条件，必要条件的定义判断即得.
【详解】由，可得，
所以是的充要条件；
所以是既不充分也不必要条件；
所以是的必要不充分条件；
所以是的充分不必要条件.
故选：D.
2、C
【解析】根据含有一个量词的命题的否定形式，全称命题的否定是特称命题，可得答案.
【详解】命题：“，”是全称命题，
它的否定是特称命题：，，
故选：C
3、A
【解析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可
【详解】，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，
故选：A
4、B
【解析】根据含全称量词的命题的否定求解.
【详解】根据含量词命题的否定，
命题“任意实数”的否定是存在实数，
故选：B
5、D
【解析】样本，，，的总和为，样本，，，的总和为，样本，，，，，，，的平均数为 ，选D.
6、B
【解析】因为，所以①为增函数，故=1，故错误
②函数为减函数，故，所以正确
③函数为增函数，故，故，故正确
④函数为增函数，，故，故错误
点睛：结合指数函数、对数函数、幂函数单调性可以逐一分析得出四个结论的真假性.
7、B
【解析】A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.
【详解】解:A选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故A错误;
B选项: 当时, ;当时,,故的值城为,B正确;
C选项: 当时, ,当时, ,在上不单调递增,故C错误;
D选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故的解集为,故D错误;
故选:B.
8、B
【解析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立
故选：.
9、C
【解析】只需要满足条件即可.
【详解】由题意，解得.
故选：C.
10、A
【解析】设函数，求出时的取值范围，再根据讨论的取值范围，判断是否能取得最大值,从而求出对应的概率值
【详解】在区间上任取一个数，基本事件空间对应区间的长度是，
由，得 ，
∴ ，
∴的最大值是或，即最大值是或；
令，得，解得；
又，∴；
∴当时，，
∴在上的最大值是，满足题意；
当时，，
∴函数在上的最大值是，
由，得，的最大值不是；

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据，成立，由求解.
【详解】因为，成立，
所以，
则，
故答案为：
12、
【解析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.
【详解】
函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，
当时，函数取最小值2，
令，则，或，
若函数在上的最大值为3，最小值为2，
则，
故答案为：.
13、2
【解析】根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】解：因为扇形的半径为2，弧长为2，
所以该扇形的面积为，
故答案为：2.
14、#0.3
【解析】利用“1”的代换，构造齐次式方程，再代入求解.
【详解】，

故答案为：
15、
【解析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式.
【详解】由图象可知，，故，即.
又由图象过，故，解得，
而，故，所以.
故答案为：.
16、（答案不唯一）
【解析】根据余弦型函数的性质求解即可.
【详解】解：因为，所以的周期为4，
所以余弦型函数都满足，但不是奇函数
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；
（Ⅱ）由题意可知，，则，令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.
【详解】（Ⅰ），，
对任意的实数，恒有成立，
则区间是不等式解集的子集，，解得，
因此，实数的取值范围是；
（Ⅱ），由题意可知，，，
令，得，令，
则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：

作出函数在时的图象如下图所示：

①当或时，即当或时，方程无实根，
此时，函数无零点；
②当时，即当时，方程根为，
而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；
③当时，即当时，方程有两根、，
且，，
方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；
④当时，即当时，方程有两根分别为、，
方程在区间上只有一个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有三个零点；
⑤当时，即当时，方程只有一个实根，且，
方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；
⑥当时，即当时，方程只有一个实根，
方程在区间上只有一个实根，此时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数无零点；
当时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点；
当时，函数有四个零点.
【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.
18、（I）（，）（Ⅱ）直线l的方程为4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0
【解析】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：，直线l过点（3，1），代入可得．与ab=12联立解得：a，b．即可得出直线l的方程．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出
（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，可得，与ab=12联立解得a，b即可得出
【详解】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）
直线l的方程为：=1，
∵直线l过点（3，1），∴=1
与ab=12联立解得：a=6，b=2
∴直线l的方程为：=1
化为：x+3y-6=0
设原点O关于直线l对称点坐标为（m，n），
则×=-1，-6=0，化为：m+3n-12=0
联立解得m=，n=
∴原点O关于直线l对称点的坐标为（，）
（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，则=1，
与ab=12联立解得：，或
可得：直线l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0
【点睛】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
19、（1）
（2）或
【解析】（1）由直线方程的两点式可求解；
（2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.
【小问1详解】
∵A（4，0），B（0，3）
由两点式可得直线AB的方程为，即.
【小问2详解】
由（1）可设直线l：，
∴，解得或.
∴直线l的方程为或.
20、（1）x≠-1,且x≠0,且x≠3（2）x=-2.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,
解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.
故元素x满足的条件是x≠-1,且x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无解,所以x=-2.
点睛：已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验
21、（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【解析】（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；
（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.
【详解】（1），则，，
在扇形中，的长为，
所以，
同理，.
∵与无重叠，∴，即，则.
又三个扇形都在三角形内部，则，∴.
（2）∵，
∴

，
∴当时，取得最大值，为.
故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.
【点睛】弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径和扇形圆心角弧度数，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.