2025年福建省福州永泰第一中学数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2025年福建省福州永泰第一中学数学高一上期末经典模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则（ ）
A.5 B.2
C.0 D.1
2．设角的终边经过点，那么
A. B.
C. D.
3．若方程表示圆，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A.函数是单调增函数
B.函数的值域为
C.函数为偶函数
D.函数的定义域为
6．有一组实验数据如下表所示：

1.9
3.0
4.0
51
6.1

1.5
4.0
7.5
12.0
18.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B.
C. D.
7．定义在上的偶函数满足当时, ,则
A. B.
C. D.
8．已知．则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．已知，，，则a，b，c的大小关系为()
A B.
C. D.
10．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若关于x的方程有四个不同的解，，，，，且，则m的取值范围是_____，的取值范围是__________
12．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.
13．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为________.

14．如果函数仅有一个零点，则实数的值为______
15．计算：__________.
16．将正方形沿对角线折成直二面角， 有如下四个结论：
①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角
其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，，
（1）求集合A，B及．
（2）若，求实数a的取值范围．
18．如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
19．已知函数
（1）若函数在区间上有且仅有1个零点，求a的取值范围：
（2）若函数在区间上的最大值为，求a的值
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择
（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：）
21．已知函数
（1）若，求实数a的值；
（2）若，且，求的值；
（3）若函数在的最大值与最小值之和为2，求实数a的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由分段函数，选择计算
【详解】由题意可得.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的求值，属于简单题
2、D
【解析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式求解的值即可.
【详解】由三角函数的定义可知：，
则.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查由点的坐标确定三角函数值的方法，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3、A
【解析】由二元二次方程表示圆的充要条件可知：，解得，故选A
考点：圆的一般方程
4、D
【解析】利用函数的奇偶性求在上的表达式.
【详解】令，则，故，
又是定义在上的奇函数，
∴.
故选：D.
5、D
【解析】应用换元法求的解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.
【详解】由题意，由，则，即.
令，则
∴，其定义域为不是偶函数，
又故不单调增函数，
易得，则，
∴.
故选：D
6、B
【解析】先画出实验数据的散点图，结合各选项中的函数特征可得的选项.
【详解】实验数据的散点图如图所示：

4个选项中的函数，只有B符合，
故选：B.
7、B
【解析】分析：先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误.
详解：因为，所以周期为2，
因为当时, 单调递增，所以 单调递增，
因为，所以 单调递减，
因为， ,
所以, , ,,
选B.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.
8、A
【解析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.
【详解】，，
则或，
由得，
由得，
显然，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.
9、A
【解析】比较a，b，c的值与中间值0和1的大小即可﹒
【详解】
，
，
所以，
故选：A.
10、D
【解析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.
【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解
令，，
当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增
且，，
由图1知，此时函数与在上只有一个交点；
当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.
综上，的取值范围为.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】画出的图象，结合图象可得的取值范围及，，再利用函数的单调性可求目标代数式的范围.
【详解】的图象如下图所示，
当时，直线与的图象有四个不同的交点，
即关于x的方程有四个不同的解，，，．结合图象，
不难得即
又，得即，且，
所以，设，
易知道在上单调递增，所以，
即的取值范围是
故答案为：，.

思路点睛：知道函数零点的个数，讨论零点满足的性质时，一般可结合初等函数的图象和性质来处理，注意图象的正确的刻画.
12、##
【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积.
故答案为：.
13、
【解析】根据三角函数的图象，求出函数的周期，进而求出和即可得到结论
【详解】由图象得，，
则周期，
则，
则，
当时，，
则，
即
即，
即，，
，
当时，，
则函数的解析式为，
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象求出， 和的值是解决本题的关键
14、
【解析】利用即可得出.
【详解】函数仅有一个零点，即方程只有1个根，
，解得.
故答案为：.
15、
【解析】直接利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
16、①②④
【解析】如图所示，取中点，则，，
所以平面，从而可得，故①正确；
设正方形边长为，则，
所以，又因为， 所以是等边三角形，故②正确；
分别取，的中点为，，连接，，．则，且，，且，则是异面直线，所成的角
在中，，，
∴
则是正三角形，故，③错误；

如上图所示，由题意可得：，则,
由可得，
据此可知：为二面角的平面角，
说法④正确.
故答案为：①②④.
点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）， ，；
（2）.
【解析】（1）解不等式得到集合，，进而可得；
（2）先求，再根据得到，由此可解得实数的取值范围
【详解】（1）∵，∴且，解得，故集合.
∵，∴，解得，故集合.
∴．
（2）由（）可得集合，集合，则.
又集合，由得，解得，
故实数的取值范围是
18、（1）详见解析；
（2）详见解析.
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；
（2）设，由题可得EF∥GB，再利用线面平行的判定定理可证.
【小问1详解】
由正方体的性质，可得，平面，
∴，又，
∴平面；
【小问2详解】
设，连接，

则
∴，
∴四边形BFEG为平行四边形，
∴EF∥GB，又平面，平面，
∴平面
19、（1）
（2）
【解析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围；（2）对对称轴分类讨论，表达出不同范围下的最大值，列出方程，求出a的值.
【小问1详解】
①，解得：，此时，零点为，0，不合题意；
②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意；
③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意；
④，解得：，
综上：a的取值范围是
【小问2详解】
对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；
当，即时，，解得：或（舍去）；
当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去）；
综上：
20、（1）理由见解析，函数模型为；（2）六月份.
【解析】（1）由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求，根据数据时，时代入即可得解；
（2）首先求时，可得元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，解不等式即可得解.
【详解】（1）两个函数与在上都是增函数，
随着的增加，指数型函数的值增加速度越来越快，
而函数的值增加越来越慢，
由凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选符合要求；
由时，由时，
可得，解得，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，元放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得所以，
由，所以.
所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
21、（1）或；（2）1；（3）或
【解析】（1）代入直接求解即可；
（2）计算可知，由此得到；
（3）分析可知函数在的最大值为2，讨论即可得解
详解】解：（1）依题意，，即或，解得或；
（2）依题意，，又，故，即，故；
（3）显然当时，函数取得最小值为0，则函数在的最大值为2，
结合（2）可知，，
所以，解得或