2025-2026学年江苏省苏北地区数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省苏北地区数学高二第一学期期末考试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）
A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是
C. D.与是共线向量
2．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）
A. B.
C. D.
3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）

A. B.
C. D.
4．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
5．变量，满足约束条件则的最小值为()
A. B.
C. D.5
6．圆的圆心为（ ）
A. B.
C. D.
7．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（）
A.既不互斥也不对立 B.互斥又对立
C.互斥但不对立 D.对立
8．直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A. B.
C. D.
10．已知命题“”为真命题，“”为真命题，则（）
A.为假命题，为真命题 B.为真命题，为真命题
C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为假命题
11．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成

若直径为4的球形容器（不计容器厚度）内有一几何体，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的番号）
14．已知直线与圆：交于、两点，则的面积为______.
15．在数列中，若，则该数列的通项公式__________
16．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.

（1）求圆锥SO的侧面积；
（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．（12分）在等差数列中，记为数列的前项和，已知：.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的值.
19．（12分）已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.
（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；
（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.
20．（12分）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
已知，且　　（只需填序号）.
（1）求的值；
（2）求展开式中的奇数次幂的项的系数之和
21．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.
22．（10分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.
（1）若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?
（2）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】因为，，，故可得，
因为，故，不平行，则D错误；
对A：不妨记向量为，则，
又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；
对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；
对C：因为，故可得，故C错误；
故选：A.
2、D
【解析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.
故选：D
3、D
【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.
【详解】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
，
即，当且仅当，即，时等号成立，
此时
故选：D
4、C
【解析】根据直线的斜率公式即可求得答案.
【详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.
故选：C
5、A
【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.
【详解】根据不等式组作出可行域如图，

，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.
故选：A.
6、D
【解析】由圆的标准方程求解.
【详解】圆的圆心为，
故选：D
7、C
【解析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.
【详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以它们的关系是互斥但不对立.
故选：C.
8、D
【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角.故选D
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.
9、D
【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.
【详解】由函数的图象可知：
在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，；当时，；
由可得，
所以或，
即或，解得：或，
所以原不等式的解集为：，
故选：D.
10、A
【解析】根据复合命题的真假表即可得出结果.
【详解】若“”为真命题，则为假命题，
又“”为真命题，则至少有一个真命题，
所以为真命题，即为假命题，为真命题.
故选：A
11、C
【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，
所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，
所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，
故选：C.
12、A
【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.
【详解】因为，所以，
因为，的面积为10，所以，故，
从而，解得，
由正弦定理得：.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①
【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与4比较大小，即可确定答案.
【详解】若几何体外接球球心为，半径为，
①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，为底面中心，则，，

所以，可得，即，满足要求；
②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥，为底面中心，则，

所以，可得，即，不满足要求；
③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，其外接球直径同棱长为3的正四棱锥，故不满足要求；
④由题设，几何体为棱长为3的正方体，体对角线的长度即为外接球直径，
所以，不满足要求；

故答案为：①
14、2
【解析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.
【详解】由圆C方程：可得：；
即圆心C的坐标为（0，-1），半径r=2；
联立方程得交点，如下图：

可知轴，∴是以为直角的直角三角形，，
故答案为：2.
15、
【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.
【详解】解：由在数列中，若，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
由等比数列通项公式可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
16、3
【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.
【详解】由题可得抛物线的准线为，
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

∴要求取得最小值，即求取得最小，
当三点共线时最小，为.
故答案为：3.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可
（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得
【小问1详解】
根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径
可得：
则圆锥的侧面积为：
【小问2详解】

如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线
则有：，，
易知，则，
又直径AB与直径CD垂直，则
则有：为二面角
可得：
又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为
故二面角大小为
18、（1）；
（2）或.
【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差及首项即可计算作答.
(2)由(1)求出，建立方程求解作答.
【小问1详解】
设等差数列公差为，因，则，解得，
于是得，
所以数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由(1)知，，由得：，即，
解得或，
所以使成立的的值是或.
19、（1）；
（2）﹒
【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；
(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒
【小问1详解】
以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：

∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，
则MN垂直平分，∴，又∵，∴，
∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；
【小问2详解】
设，，则的周长为
当轴时，l的方程为，，，
当l与x轴不垂直时，设，
由得，
∵D＞0，∴，，

，
令，则，
，
∵，∴，∴.
综上可知，S的取值范围是
20、（1）选①②③，答案均为；
（2）66
【解析】（1）选①时，利用二项式定理求得的通项公式为，从而得到，求出n的值；选②时，利用二项式系数和的公式求出，解出n的值；选③时，利用赋值法求解，，从而求出n的值；（2）在第一问求出的的前提下进行赋值法求解.
【小问1详解】
选①，
其中，而的通项公式为，当时，，所以，解得：；
选②，
由于，所以，解得：；
选③，
令中得：，再令得：，解得：；
【小问2详解】
由（1）知：n=7，所以，
令得：，
令得：，
两式相减得：，所以，故展开式中的奇数次幂的项的系数和为66.
21、（1）；（2）
【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），运用抛物线的定义，可得23，解得p＝2，进而得到抛物线的方程；
（2）由题意，直线AB方程为y＝x﹣1，与y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积
【详解】（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，
且过一点P（2，m），
可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
P（2，m）到焦点的距离为3，
即有P到准线的距离为6，即23，
解得p＝2，
即抛物线的标准方程为y2＝4x；
（2）联立方程化简，得x2﹣6x+1＝0
设交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2＝6，x1x2＝1
可得|AB||x1﹣x2|＝8
点O到直线l的距离d，
所以△AOB的面积为S|AB|•d82
【点睛】本题考查抛物线的方程的求法及抛物线定义的应用，考查待定系数法的运用，考查求焦点弦AB与原点构成的△AOB面积，属于中档题
22、（1）
（2）120
【解析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；
（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.
【小问1详解】
根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，
当时，则轮船返港的直线为，
因为没有触礁危险，所以原点到的距离，
解得.
【小问2详解】
根据题意可得，，点C在直线上，故点C，
设轮船返港的直线是，则，
所以.当且仅当时取到最小值.