云南省昆明市重点中学2025-2026学年数学高一第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

云南省昆明市重点中学2025-2026学年数学高一第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知二次函数在区间(2，3)内是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A.或 B.
C.或 D.
2．若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是
A.函数在区间内有零点
B.函数在区间或内有零点
C.函数在区间内无零点
D.函数在区间内无零点
3．已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
4．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是
A.0.32＜log0.32＜20.3 B.0.32＜20.3＜log0.32
C.log0.32＜20.3＜0.32 D.log0.32＜0.32＜20.3
5．非零向量，，若点关于所在直线的对称点为，则向量为
A. B.
C. D.
6． “”是的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件
A.充要 B.既不充分也不必要
C.必要不充分 D.充分不必要
8．函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
9．若，则错误的是
A. B.
C. D.
10．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）
A.或 B.
C.或 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．实数的值为___________.
12．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.

13．已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.
14．已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.
15．设x、y满足约束条件，则的最小值是________.
16．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．观察以下等式：
①
②
③
④
⑤
（1）对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；
（2）根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明
18．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专业
机电维修
车内美容
衣物翻新
美容美发
泛艺术类
电脑技术
招生人数

就业率

（1）从该校已毕业的学生中随机抽取人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
（2）为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少人，将“机电维修”专业的招生人数增加人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值
19．已知函数.
（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；
（2），，使在区间上值域为.求实数的取值范围.
20．已知函数，且
（1）证明函数在上是增函数
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
21．设，函数
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据开口方向和对称轴及二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间求参数的取值范围即可.
【详解】根据题意二次函数f（x）=x2-2ax+1开口向上，单调递增区间为，单调减区间，因此当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数时a≤2，
当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数时a≥3，
综上可得a≤2或a≥3.
故选：A.
2、D
【解析】有题意可知，函数唯一的一个零点应在区间内，所以函数在区间内无零点
考点：函数的零点个数问题
3、D
【解析】先求出集合B，再求出两集合的交集即可
【详解】由，得，
所以，
因为，
所以，
故选：D
4、D
【解析】由已知得：，，，所以.故选D.
考点：指数函数和对数函数的图像和性质.
5、A
【解析】如图由题意点B关于所在直线的对称点为B1，所以∠BOA=∠B1OA，所以又由平行四边形法则知:,且向量的方向与向量的方向相同，由数量积的概念向量
在向量方向上的投影是OM=，设与向量方向相同的单位向量为：，所以向量=2=2=，所以=.
故选A.
点睛：本题利用平行四边形法则表示和向量，因为对称，所以借助数量积定义中的投影及单位向量即可表示出和向量,解题时要善于借助图像特征体现向量的工具作用.
6、A
【解析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.
【详解】当时，，
即“”是的充分条件；
当时，，
则 或，
则 或,即成立，推不出一定成立，
故“”不是的必要条件，
故选：A.
7、D
【解析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.
【详解】若，则一定有，故充分性满足；
若，不一定有，
例如，满足，但不满足，故必要性不满足；
故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.
故选：.
8、C
【解析】根据的最值得出，根据周期得出，利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算.
【详解】由函数的最小值可知：，
函数的周期：，则，
当时，，
据此可得：，令可得：，
则函数的解析式为：，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.
9、D
【解析】对于，由，则，故正确；对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故错误
故选D
10、B
【解析】由题意可得，解不等式即可求出结果.
【详解】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接根据指数幂运算与对数运算求解即可.
【详解】解：
故答案为：
12、②④
【解析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面
【详解】解：根据题意，
在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；
图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；
图④中，、、共面，但面，与异面
所以图②④中与异面
故答案为：②④.
13、
【解析】由已知函数解析式可求，然后结合奇函数定义可求.
【详解】因为是R上的奇函数，且当时，，
所以，所以
故答案为：
14、16
【解析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.
【详解】函数的零点
即
所以
去绝对值可得或
即或
去绝对值可得或,或
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
综上可得所有零点的乘积为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.
15、-6
【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点时，从而得到的最小值即可
【详解】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线截距最大，此时z最小，
由得，即，
代入目标函数，
得
∴目标函数的最小值是﹣6
故答案为：
【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题
16、
【解析】按的取值范围分类讨论.
【详解】当时，定义域，，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
当时，定义域，，
，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
综上：
故答案为：
【点睛】关键点睛：由参数变化引起的分类讨论，可根据题设按参数在不同区间，对应函数的变化，找到参数的取值范围.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）；证明见解析.
【解析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即得；
（2）根据式子的特点可得等式，然后利用和差角公式及同角关系式化简运算即得,
【小问1详解】

猜想：

【小问2详解】
三角恒等式为
证明：

=
18、（1）0.08
（2）120
【解析】理解题意，根据数据列式求解
【小问1详解】
由题意，该校往年每年的招生人数为，
“衣物翻新”专业直接就业的学生人数为，
所以所求的概率为
【小问2详解】
由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，
招生人数调整后全校整体的就业率为，
解得
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数复合函数的单调性得，即可求参数范围.
（2）首先判断的单调性并确定在上的值域，结合已知易得在内有两不等实根，，应用换元法进一步转化为两个函数有两个交点求参数范围.
【小问1详解】

∵在单调递增，
∴在单调递增，且
∴，解得.
【小问2详解】
由，在上是减函数.
所以，在上的值域为，
故，整理得：，
即在内有两不等实根，，
令，当时，则关于的在内有两个不等实根.
整理得：，即与由两个不同的交点，
又，当且仅当时等号成立，则上递减，上递增，且其值域为.
∴函数图象如下：

∴，即.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，应用参变分离将问题进一步化为两个函数在某区间内有两个交点.
20、（1）证明见解析；（2）的最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据求出，求得，再利用函数单调性的定义，即可证得结论；
（2）根据在上的单调性，求在上的最值即可.
【详解】解：（1）因为，可得，解得，所以，
任取，则，
因为，所以，可得，即且，
所以，即，所以在上是增函数；
（2）由（1）知，在上是增函数，
同理，任取时，，其中，故，即且，故，即，所以在上是减函数，故在上是减函数，在上是增函数，又，，
所以的最大值为，最小值为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性方法：
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值——作差——变形——定号——下结论.
21、（1）在上递增，证明见解析.
（2）
【解析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性.
（2）对进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得的范围.
【小问1详解】
，
当时，的定义域为，
在上递增，证明如下：
任取，
由于，所以，所以在上递增.
【小问2详解】
由于，所以，，
由知，所以.
由于，所以或.
当时，由（1）可知在上递增.
所以，从而①有两个不同的实数根，
令，①可化为，
其中，
所以，，
，解得.
当时，函数的定义域为，
函数在上递减.
若，则，于是，这与矛盾，故舍去.
所以，则，
于是，
两式相减并化简得，由于，
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为.