江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学 2025年数学高二第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学 2025年数学高二第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程化简的结果是（）
A. B.
C. D.
2．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）
A.15 B.16
C.17． D.18
3．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
5．命题“，”否定形式是（）
A.， B.，
C.， D.，
6．设双曲线：（，）的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于另一个点（为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7．不等式的解集是（ ）
A. B.
C.或 D.或
8．直线的倾斜角为（　　）
A. B.
C. D.
9．已知椭圆的左，右两个焦点分别为，若椭圆C上存在一点A，满足，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A 2 B.3
C.4 D.5
11．已知函数为偶函数，则在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100 名学生进 行百分制检测，现将所得的成绩按照 ，分成 6 组，并根据所得数据作出了频率分布直方图 (如图所示)，则成绩在这组的学生人数是________.

14．已知数列满足0，，则数列的通项公式为____，则数列的前项和______
15．已知在时有极值0，则的值为____
16．如图，在四棱锥中，O是AD边中点，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.

（1）求证：平面POC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近天内每日接待的顾客人数，将前天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图.
组别
分组
频数
频率
第组

第组

第组

第组

第组

合计

（1）求、、的值，并估计该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为，在后天内每日接待的顾客人数的平均数为、方差为，估计这家快餐店这天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.（）
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），且椭圆C过点（﹣）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
19．（12分）已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围
20．（12分）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
21．（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等

（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；
（2）为了解该车间工人生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：
工龄x（单位：年）
4
6
8
10
12
生产速度y（单位：件/小时）
42
57
62
62
67
根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，
22．（10分）已知函数
（1）证明；
（2）设，证明：若一定有零点，并判断零点的个数
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解.
【详解】∵方程，
表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；
∴；
∴椭圆的方程是，即为化简的结果
故选：D
2、A
【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.
【详解】前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.
3、D
【解析】由题意得当时，，根据题意作出函数的部分图象，再结合图象即可求出答案
【详解】解：当时，，
又，
∴当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，且；
又，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的倍，
作出其大致图象得，

当时，由得，或，
由图可知，若对任意，都有，则，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题
4、A
【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.
【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：

由可得，所以，
在，，可得
由中位线的性质可得且，且，
所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，
在中，，
所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
5、C
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题“，是特称命题，
所以其否定是全称命题，即为，
故选：C
6、A
【解析】由给定条件写出点A，F坐标，设出点B的坐标，求出线段FC的中点坐标，由三点共线列式计算即得.
【详解】令双曲线的半焦距为c，点，设，由双曲线对称性得，
线段FC的中点，因直线平分线段，即点D，A，B共线，
于是有，即，即，离心率.
故选：A
7、A
【解析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集
【详解】，即为，
故选：A
8、D
【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.
【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，
∴.
故选：D
9、C
【解析】根据题意可知当A为椭圆的上下顶点时，即可满足椭圆C上存在一点A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.
【详解】由椭圆的对称性可知，当A为椭圆的上下顶点时， 最大，
故只需即可满足题意，
设O为坐标原点，则只需 ,即有，
所以 ，解得 ，

故选：C
10、B
【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.
【详解】画出不等式组对应的可行域如下：

平行移动直线，当直线过点时，
.
故选：B.
11、A
【解析】根据函数是偶函数可得，可求出，求出函数在处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.
【详解】函数为偶函数，
，即，解得，
，则，
，且，
切线方程为，整理得.
故选：A.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
12、C
【解析】取中点，连接，，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.
【详解】取中点，连接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，，，在中，.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、20
【解析】根据频率分布直方图求出成绩在这组的频率，从而可得出答案.
【详解】解：由频率分布直方图可知，
成绩在这组的频率为，
所以成绩在这组的学生人数为（人）.
故答案为：20.
14、 ①. ②.
【解析】第一空：先构造等比数列求出，即可求出的通项公式；第二空：先求出，令，通过错位相减求出的前项和为，再结合等差数列的求和公式及分组求和即可求解.
【详解】第一空：由可得，又，则是以1为首项，2为公比的等比数列，
则，则；
第二空：，设，前项和为，则，
，两式相减得，
则，又，则.
故答案为：；.
15、11
【解析】由题知，
且，
所以，
得或，
①当时，，此时，
，
所以函数单调递增无极值，
舍去
②当时，，此时，
是函数的极值点，符合题意，
∴
16、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意，证明BCOA是平行四边形，从而可得，然后根据线面平行的判断定理即可证明；
（2）证明BCDO是平行四边形，从而可得，由题意，可建立以为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.
【小问1详解】
证明：由题意，又，所以BCOA是平行四边形，所以，
又平面POC，平面POC，所以平面POC；
【小问2详解】
解：，，所以BCDO是平行四边形，所以，，而，
所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
设平面ABP的一个法向量为，
则，取x=1，则，，所以，
设直线PC与平面PAB所成角为，则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，，平均数为；
（2）平均数为，方差为.
【解析】（1）计算出第组的频数，可求得的值，利用频数、频率和总数的关系可求出的值，求出第组的频率，除以组距可得的值，利用平均数公式可求得该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）设前天接待的顾客人数分别为、、、，后天接待的顾客人数分别为、、、，利用平均数公式和方差公式可求得结果.
【小问1详解】
解：由表可知第组的频数为，
所以，，，
第组的频率为，，
前天内每日接待的顾客人数的平均数为：.
【小问2详解】
解：设前天接待的顾客人数分别为、、、，
后天接待的顾客人数分别为、、、，
则由（1）知前天的平均数，方差，
后天的平均数，方差，故这天的平均数为，
，同理，
这天的方差，
由以上三式可得
.
18、（1）
（2）或.
【解析】（1）设标准方程代入点的坐标，解方程组得解.
（2）设直线方程代入椭圆方程消元，韦达定理整体思想，可得直线斜率得解.
【小问1详解】
因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为，又点在椭圆C上，
所以，解得 ，
因此，椭圆C的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，显然不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
因为，所以，
因为，，
所以，
所以，①
联立方程，消去得，
则，
代入①，得，
解得，经检验，此时直线与椭圆相交，
所以直线l的方程是或.
19、（1）极大值；极小值
（2）
【解析】（1）利用导数来求得的极大值和极小值.
（2）由不等式分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
令，可得或2
所以在区间递增；
在区间递减.
故当时．函数有极大值，
故当时，函数有极小值；
【小问2详解】
由，有，
可化为，
令，有，
令，有，
令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，
有，
可知，有函数为减函数，
有，
故当时，若恒成立，则实数a的取值范围为
【点睛】求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数求最值来求解.在利用导数研究函数的过程中，如果一阶导数无法解决，可考虑利用二阶导数来进行求解.
20、（1），曲线是一个双曲线，除去左右顶点
（2）
【解析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.
【小问1详解】
解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线一个双曲线，除去左右顶点.
【小问2详解】
解：联立消去整理得，
设，，则，

.
21、（1）
（2）80件/小时
【解析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；
（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.
【小问1详解】
解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，
由频率分布直方图，得，
即，解得，
则，，
所以中位数为.
【小问2详解】
解：由题意，得，
，
由所给公式，得，
，
所以回归直线方程为，
则当时，，
即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.
22、（1）证明见解析；
（2）证明见解析，1个零点.
【解析】(1)求导同分化简，构造新函数判断导数正负即可；
(2)令g(x)＝0，化简方程，将问题转化为讨论方程解的个数问题.
【小问1详解】

,设，则，
时，递减，时，递增，
而，所以时，，所以；
小问2详解】
有零点，则有解，
即有解，又，则只要，
因为，方程可以化为，
现在证明有解，
令，则，
可知在递减，在递增，
所以，
因为，所以，
在内恒有，而在递增，
当x＝时，h()＝，
故根据零点存在性定理知在存在唯一零点.
所以有且只有一个零点，所以有零点，有一个零点
【点睛】本题关键是是将方程零点问题转化为方程解的问题，通过讨论单调性和最值（极值）的正负即可判断零点的有无和个数.