2025年黑龙江省大庆实验中学数学高一上期末复习检测试题含解析.doc

2025年黑龙江省大庆实验中学数学高一上期末复习检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数f（x）=，若f（f（-1））=6，则实数a的值为（　　）
A.1 B.
C.2 D.4
2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是
A. B.
C. D.
3．设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A.(-∞，1] B.[1，+∞)
C.(-∞，5] D.[5，+∞)
4．如图，在正三棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（）

A.30° B.45°
C.60° D.90°
5．函数的一部分图像如图所示，则（）

A. B.
C. D.
6．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ）

A. B.
C. D.
7．已知函数，则下列是函数图象的对称中心的坐标的是（）
A. B.
C. D.
8．函数的部分图象如图，则（）

A. B.
C. D.
9．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）

A.2 B.
C.4 D.
10．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A.0 B.-3
C.1 D.-1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）=______.
12．计算=_______________
13．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
14．我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是__________.
8
3
4
1
5
9
6
7
2

15．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）

16．设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边上一点的坐标为，则的值为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数部分图象如图所示，点为函数的图象与y轴的一个交点，点B为函数图象上的一个最高点，且点B的横坐标为，点为函数的图象与x轴的一个交点

（1）求函数的解析式；
（2）已知函数的值域为，求a，b的值
18．在△中，的对边分别是，已知，.
（1）若△的面积等于，求；
（2）若，求△的面积.
19．已知扇形的周长为30
（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
（2）求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
20．已知函数的定义域为A，的值域为B
（1）求A，B；
（2）设全集，求
21．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
（1）若满足性质，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值得到方程求解即可
【详解】函数f（x）=，若f（f（-1））=6，
可得f（-1）=4，f（f（-1））=f（4）=4a+log24=6，
解得a=1
故选A
【点睛】本题考查分段函数应用，函数值的求法，考查计算能力
2、B
【解析】∵集合
∴集合
∵集合
∴
故选B
3、B
【解析】分段函数中，根据对数函数分支y = log2x的值域在(1，+∞)，而函数的值域为R，可知二次函数y = -x2 + a的最大值大于等于1，即可求得a的范围
【详解】x > 2时，y = log2x > 1
∴要使函数的值域为R，则y = -x2 + a在x ≤ 2上的最大值a大于等于1
即，a ≥ 1
故选：B
【点睛】本题考查了对数函数的值域，由函数的值域及所得对数函数的值域，判断二次函数的的值域范围进而求参数范围
4、C
【解析】取BC的中点E，∠DFE即为所求，结合条件即求.
【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，
则EF∥AB，∠DFE即为所求，

设，在正三棱锥中，，
故，
∴，
∴，即异面直线与所成角的大小为.
故选：C.
5、D
【解析】由图可知,,排除选项,由,排除选项,故选.
6、C
【解析】由三视图可知，此几何体为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果.
【详解】由三视图复原几何体为四棱锥，如图：
它高为，底面是直角梯形，长底边为，上底为，高为，
棱锥的高垂直底面梯形的高的中点，
所以几何体的体积为：

故选：C
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状以及几何尺寸，同时需熟记锥体的体积公式，属于基础题.
7、A
【解析】根据三角函数性质计算对称中心
【详解】令，则，故图象的对称中心为
故选：A
8、C
【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解
【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，
∴，
当时取最大值1，即，
又，所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．属于基础题.
9、D
【解析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.
【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，
其原图形是，，，，
则，
故选：D.
10、C
【解析】根据，由求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，
解得，
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据反函数的定义即可求解.
【详解】由题知y＝f(x)＝，∴f(2)＝1.
故答案为：1.
12、
【解析】原式
考点：三角函数化简与求值
13、
【解析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将
整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.
【详解】由题意得，即或，
的图象如图所示，

关于的方程有5个不同的实数根，
则或，解得，
故答案为：
14、8
【解析】三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法
4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8；
2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6；
8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4；
6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2
故答案为：8
15、（1）（3）
【解析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”，（1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
16、##0.5
【解析】利用余弦函数的定义即得.
【详解】∵角的终边上一点的坐标为，
∴.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】(1)根据图象可得函数的周期，利用求出，根据五点画图法求出，根据点A坐标求出A，进而得出解析式；
(2)根据三角函数的性质求出的值域，由（1）知，对的取值分类讨论，列出方程组，解之即可.
【小问1详解】
由函数的部分图象可知，函数的周期，
可得，
由五点画图法可知，可得，
有，
又由，可得，
故有函数的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，
函数的值域为
①当时，解得；
②当时，解得
由上知或
18、 (1)；(2).
【解析】（1）先根据条件可得到，由三角形的面积可得，与联立得到方程组后可解得．（2）由可得，分和两种情况分别求解，最后可得的面积为
试题解析：
（1）∵，，
∴,
∴，
又，
∴，
∵△的面积，
∴，
由，解得.
（2）由，
得
得，
∴或
①当时，则，由（1）知，，
又
∴.
∴；
②当时，则，代入，
得，，
∴.
综上可得△的面积为.
点睛：
解答本题（2）时，在得到后容易出现的错误是将直接约掉，这样便失掉了三角形的一种情况，这是在三角变换中经常出现的一种错误．为此在判断三角形的形状或进行三角变换时，在遇到需要约分的情况时，需要考虑约掉的部分是否为零，不要随意的约掉等式两边的公共部分
19、（1），，；
（2），.
【解析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；
（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.
【小问1详解】
由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
【小问2详解】
设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
20、（1），；（2）.
【解析】（1）由，可得定义域，由二次函数性质得得值域，即得；
（2）根据集合运算法则计算
【详解】（1）由得：，解得.
.
∴，
（2）由（1）得，∴.
【点睛】本题考查求函数的定义域与值域，考查集合的综合运算，属于基础题
21、（1）
（2）答案见解析（3）证明见解析
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；
（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
，
由可得，
由可得，
所以，.
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存在，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.