2025-2026学年内蒙古自治区包头市二中高二上数学期末监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年内蒙古自治区包头市二中高二上数学期末监测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若，，则公差d=（）
A. B.
C.3 D.－3
2．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
4．圆与圆的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．已知向量，且与互相垂直，则k=（）
A. B.
C. D.
6．抛物线的准线方程是（）
A. B.
C. D.
7．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
①点的横坐标为定值a；
②离心率；
③；
④当轴时，
上述结论正确的是（ ）
A.①② B.②③
C.①②③ D.②③④
8．已知实数满足方程，则的最大值为（）
A.3 B.2
C. D.
9．已知向量，若，则（）
A. B.5
C.4 D.
10．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，如果输入a=102，b= 238，则输出的a的值为（）

A.17 B.34
C.36 D.68
11．函数在处有极小值5，则（）
A. B.
C.或 D.或3
12．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______
14．命题“矩形的对角线相等”的否命题是________.
15．已知数列满足，，则_____________.
16．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点

（1）求证：；
（2）求点到平面的距离
18．（12分）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程
19．（12分）已知函数(其中为自然对数底数)
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
22．（10分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2

（1）求圆C的方程；
（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由等差数列的通项公式计算
【详解】因为，，所以.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式可得，
2、C
【解析】利用已知条件求得，由此求得.
【详解】依题意，解得，所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.
3、C
【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
故选：C
4、D
【解析】公切线条数与圆与圆的位置关系是相关的，所以第一步需要判断圆与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为3；圆的圆心坐标为，半径为1，所以两圆的心心距为，所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
5、C
【解析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.
【详解】由与互相垂直得，
解得
故选：C.
6、D
【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，该抛物线的准线方程为.
故选：D.
7、C
【解析】利用双曲线的定义、几何性质以及题意对选项逐个分析判断即可
【详解】对于①，设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得
,
因为，，
所以，所以点的坐标为，
所以点的横坐标为定值a，所以①正确，
对于②，因为，所以，
化简得，即，解得，
因为，所以，所以②正确，
对于③，设的内切圆半径为，由双曲线的定义可得，，
因为，，
所以，
所以，所以③正确，
对于④，当轴时，可得，此时，所以，所以④错误，
故选：C

8、D
【解析】将方程化为，由圆的几何性质可得答案.
【详解】将方程变形为，则圆心坐标为，半径，
则圆上的点的横坐标的范围为：
则x的最大值是
故选：D.
9、B
【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】由于，所以.
故选：B
10、B
【解析】根据程序框图所示代入运行即可.
【详解】初始输入：；
第一次运算：；
第二次运算：；
第三次运算：；
第四次运算：；
结束，输出34.
故选：B.
11、A
【解析】由题意条件和，可建立一个关于的方程组，解出的值，然后再将带入到中去验证其是否满足在处有极小值，排除增根，即可得到答案.
【详解】由题意可得，则，解得，或．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递增，在上单调递减，故在处有极大值5，不符合题意．当，时，．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增，故在处有极小值5，符合题意，从而
故选：A.
12、D
【解析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.
【详解】显然点椭圆内，设点，
依题意，，两式相减得：，
而弦恰好被点平分，即，
则直线AB的斜率，直线AB：，即，
所以所在的直线方程为.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2020
【解析】先证得，利用倒序相加法求得表达式值.
【详解】解：由题意可知，
令S=
则S=
两式相加得，

故填：
【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律
14、 “若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
【解析】否命题是条件否定，结论否定，即可得解.
【详解】否命题是条件否定，结论否定，
所以命题“矩形的对角线相等”的否命题是“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
故答案为：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”
15、
【解析】由题设可得，应用累加法有，结合已知即可求.
【详解】由题设，，
所以，又，
所以.
故答案为：.
16、②③
【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件
故答案为：②③

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)取的中点，连接，，，先证明平面，再由平面得，
(2)等体积法求解.根据题目条件，先证明为三棱锥的高，再求出以为顶点，为底面的三棱锥的体积和以为顶点，为底面的三棱锥的体积，根据，求点到平面的距离.
【详解】(1)证明：如图，取的中点，连接，，
依题意可知，，均为正三角形，
∴，
又∵，∴平面
又平面，∴

(2)由(1)可知，∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面，即为三棱锥的高
由题意得，∵为的中点，∴
在中，，∴，，
∴在中，边上的高，
∴的面积
的面积
点到平面的距离即点到平面的距离
设点到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
即点到平面的距离为
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得
所以，双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为
19、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；
（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.
【小问1详解】
解：
①，在上单调增；
②，令，单调减
单调增；
③，单调增
单调减.
综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
解：由题意知在上恒成立
，
令，，
单调递增
∵，
∴使得，即
单调递减；单调递增
，

令，则
在上单调增
，

∴实数的取值范围是
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；
（2）根据题意，求出，结合组合法求和，即可求解.
小问1详解】
根据题意，设公比为，且，
∵，，
∴，解得或（舍），
∴.
【小问2详解】
根据题意，得，故，
因此
.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
22、（1）.
（2）.
【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；
（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.
小问1详解】
解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，
设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，
所以，圆心C的坐标为(2,1)，
所以圆C的方程为；
【小问2详解】
解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，
检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.