江西省宜春中学、丰城中学、高安二中、樟树中学2026届数学高二第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

江西省宜春中学、丰城中学、高安二中、樟树中学2026届数学高二第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线过双曲线：的右焦点，在第一、第四象限交双曲线两条渐近线分别于P，Q两点，若∠OPQ＝90°（O为坐标原点），则OPQ内切圆的半径为（ ）
A. B.
C.1 D.
2．已知抛物线y2= 2px（p> 0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（　　）
A. B.
C.1 D.2
3．正方体的棱长为，为侧面内动点，且满足，则△面积的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
4．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（）
A.40 B.30
C.20 D.12
5．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）
A.(1,9) B.(9,1)
C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)
6．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）
A B.
C. D.6
7．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()
A.0 B.1
C.2 D.3
8．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（）
A. B.
C. D.1
9．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B.
C. D.
10．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（）

A. B.
C. D.
11．在x轴与y轴上截距分别为，2的直线的倾斜角为（）
A.45° B.135°
C.90° D.180°
12．经过两点直线的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列中，，，则______________
14．在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为__________
15．已知函数，则________
16．某中学高三（2）班甲，乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图所示，则甲的中位数与乙的极差的和为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（）
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数m的取值范围
18．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值.
19．（12分）为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间

(1)求实数的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；
(2)若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率
20．（12分）命题p：直线l：与圆C：有公共点，命题q：双曲线的离心率
（1）若p，q均为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数m的取值范围
21．（12分）已知圆C的方程为.
（1）直线l1过点P(3，1)，倾斜角为45°，且与圆C交于A，B两点，求AB的长；
（2）求过点P(3，1)且与圆C相切的直线l2的方程.
22．（10分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据渐近线的对称性，结合锐角三角函数定义、正切的二倍角公式、直角三角形内切圆半径公式进行求解即可.
【详解】由双曲线标准方程可知：，
双曲线的渐近线方程为：，因此，因为∠OPQ＝90°，
所以三角形是直角三角形，，
而，解得：，由双曲线渐近线的对称性可知：
，于是有，
在直角三角形中，，由勾股定理可知：
，设OPQ内切圆的半径为，
于是有：，
即，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用三角形内切圆的性质是解题的关键.
2、C
【解析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，
因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，
显然，在直角三角形中，
，
故选：C

3、B
【解析】建立空间直角坐标系如图所示，设由，得出点的轨迹方程，由几何性质求得，再根据垂直关系求出△面积的最小值
【详解】以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，设
所以，得，
所以
因为平面，所以
故△面积的最小值为
故选：B

4、B
【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.
【详解】由总数为1200，样本容量为40，
所以抽样距为：
故选：B
【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.
5、B
【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.
【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，
∴要使恒成立，只需，故，
∴.
故选：B.
6、C
【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.
7、A
【解析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.
详解】设过点的直线方程为或，
①当斜率存在时有，
得(*)
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：
，即
又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，
又为线段的中点，
，即，
，使但使，
因此当时，方程①无实数解
故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在
②当时，经过点的直线不满足条件.
综上，符合条件的直线不存在
故选：A
8、C
【解析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.
【详解】设分别是的中点，根据正三棱柱的性质可知两两垂直，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，.
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以点到平面的距离为.
故选：C

9、B
【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
10、C
【解析】根据向量线性运算法则计算即可.
【详解】

故选：C
11、A
【解析】按照斜率公式计算斜率，即可求得倾斜角.
【详解】由题意直线过，设直线斜率为，倾斜角为，
则，故.
故选：A.
12、B
【解析】求出直线的斜率后可得倾斜角
【详解】经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
又，所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；
【详解】解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，所以，所以
故答案为：
14、
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

设该正方体的棱长为1，所以，，，，
因此，，，
设平面的法向量为：，所以有：
，令，所以，
因此，设与的夹角为，直线与平面所成角为，
所以有，
故答案为：
15、.
【解析】将代入计算，利用和互为相反数，作差可得，计算可得结果.
【详解】解：函数则.
，
，
作差可得：，
即，解得：代入此时成立.
故答案为：.
16、111
【解析】求出甲的中位数和乙的极差即得解.
【详解】解：由题得甲的中位数为，乙的极差为，
所以它们的和为.
故答案为：111

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）时，在递增，时，在递减，在递增
（2）
【解析】（1）求出函数导数，分和两种情况讨论可得单调性；
（2）根据导数可得有两个极值点等价于有两不等实根，则可得出，进而得出，可得恒成立，等价于，构造函数求出最小值即可.
【小问1详解】
的定义域是，
，
①时，，则，在递增；
②时，令，解得，令，解得，
故在递减，在递增．综上，时，在递增
时，在递减，在递增
【小问2详解】
，定义域是，
有2个极值点，，
即，
则有2个不相等实数根，，
∴，，解得，且，，
从而，由不等式恒成立，
得恒成立，
令，
当时，恒成立，
故函数在上单调递减，∴，
故实数m的取值范围是
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将有两个极值点等价于有两不等实根，以此求出，再将不等式恒成立转化为求的最小值.
18、（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】（1）为的中点，且，则，
又因为，则，故四边形为平行四边形，
因为，故四边形为矩形，所以，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
因为平面，因此，平面平面；
（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
设，
,
因为，则，解得，
，
，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.
19、（1）0.05，40；（2）
【解析】（1）因为由频率分布直方图可得共五组的频率和为1所以可得一个关于的等式，即可求出的值.再根据已知有4名学生的成绩在9米到11米之间，可以求出本次参加“掷铅球”项目测试的人数.本小题要根据所给的图表及直方图作答，频率的计算易漏乘以组距.
（2）因为若此次测试成绩最好的共有4名同学.成绩最差的共有2名同学.所以从6名同学中抽取2名同学共有15中情况，其中两人在同组情况由8中.所以可以计算出所求的概率.
试题解析：（Ⅰ）由题意可知
解得
所以此次测试总人数为
答：此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为40人
(Ⅱ) 设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生自不同组的事件为A：由已知，测试成绩在有2人，记为；在有4人，记为.从这6人中随机抽取2人有
，共15种情况
事件A包括共8种情况.
所以
答：随机抽取的2名学生自不同组的概率为
考点：1.频率分布直方图.2.概率问题.3.列举分类的思想.
20、（1），；
（2）.
【解析】(1)求出，成立的等价条件，即可求实数的取值范围；
(2)若“”为假命题，“”为真命题，则、一真一假，当真假时，求出的取值范围，当假真时，求出的取值范围，然后取并集即可得答案
【小问1详解】
若命题为真命题，则，解得：，
若命题为真命题，则且，，解得，
∴，均为真命题，实数的取值范围是，；
【小问2详解】
若为真，为假，则、一真一假；
①当真假时，即“”且“或”，则此时的取值范围是；
当假真时，即“或”且“”，则此时的取值范围是；
综上,的取值范围是
21、（1）
（2）x=3或
【解析】（1）首先利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直定理、勾股定理计算可得；
（2）依题意可得点在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但直线的斜率存在时设直线方程为，利用点到直线的距离公式得到方程，解得，即可得解；
【小问1详解】
解：根据题意，直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为
故；
【小问2详解】
解：根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：
当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，
此时与圆C：相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
直线与圆相切时，圆心到直线的距离为
解得
此时，直线的方程为，
所以满足条件的直线的方程是或.
22、（1）；
（2）存在，T(0，1)﹒
【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；
(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.
【小问1详解】
由题可知，，
则，
由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，
∴，∴，
∴P的轨迹方程为C：；
【小问2详解】
假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，
联立，化为，易知恒成立，
∴(*)
由题可知，

将(*)代入可得：
即
∴，解，
∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.