吉林省榆树一中五校联考2025年数学高二上期末综合测试模拟试题含解析.doc

吉林省榆树一中五校联考2025年数学高二上期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）.

A.函数在上是增函数
B.
C.
D.是函数的极小值点
2．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
3．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
4．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为
A.15 B.
C.6 D.3
5．在等比数列中，，，则等于（ ）
A.90 B.30
C.70 D.40
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且的最大值为，则椭圆离心率为（）
A. B.
C. D.
7．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）
A. B.
C. D.
8．已知数列的通项公式是，则（）
A10100 B.-10100
C.5052 D.-5052
9．下列命题中，真命题的个数为（ ）
（1）是为双曲线的充要条件；
（2）若，则；
（3）若，，则；
（4）椭圆上的点距点最近的距离为；
A.个 B.个
C.个 D.个
10．已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f ¢(x)的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
11．已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12．的展开式中的系数为，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出直线一个方向向量______
14．函数满足，且，则的最小值为___________.
15．从某校随机抽取某次数学考试100分以上（含100分，满分150分）的学生成绩，将他们的分数数据绘制成如图所示频率分布直方图．若共抽取了100名学生的成绩，则分数在内的人数为___________

16．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1= 2，a2= 3，则a2022的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{}的前4项和为15，且.
（1）求{}的通项公式；
（2）若，记数列{}前n项和为，求.
18．（12分）已知.
（1）当，时，求中含项的系数；
（2）用、表示，写出推理过程
19．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点

（1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；
（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值
20．（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程.
（2）若直线为曲线切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.
21．（12分）若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
（2）如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.
22．（10分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】解：根据函数的导函数的图象，
可得或时，，当或时，，
所以函数在和上递减，在和上递增，
故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
是函数的极大值点，故D错误.
故选：B.
2、D
【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.
【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，
若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
3、A
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
详解】如图，

由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：A.
4、C
【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果
【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，
∴2，
∴2＝a1+a1+5d，
解得2a1+5d＝2，
∴{an}前6项的和为2a1+5d）=
故选C
【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用
5、D
【解析】根据等比数列的通项公式即可求出答案.
【详解】设该等比数列的公比为q，则，则.
故选：D
6、A
【解析】根据椭圆的定义可得，从而得到，则，其中，再根据对勾函数的性质求出，即可得到方程，从求出椭圆的离心率；
【详解】解：依题意，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）
故选：A
7、C
【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.
【详解】，，
因为点到的准线的距离为，所以，得
故选：C
8、D
【解析】根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
.
故选：D.
9、A
【解析】利用方程表示双曲线求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误，可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.
【详解】对于（1），若曲线为双曲线，则，
即，解得或，
因为Ü或，
因此，是为双曲线的充分不必要条件，（1）错；
对于（2），若，则或，（2）错；
对于（3），，则，（3）对；
对于（4），设点为椭圆上一点，则且，
则点到点的距离为
，（4）错.
故选：A.
10、D
【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故
可知，导函数图象为D
故选：D
11、D
【解析】根据题意转化为对于且时，都有恒成立，构造函数，转化为时，恒成立，求得的导数，转化为在上恒成立，即可求解.
【详解】由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数取值范围为.
故选：D
12、B
【解析】根据二项式展开式的通项，先求得x的指数为1时r的值，再求得a的值.
【详解】由题意得：
二项式展开式的通项为：，
令，则，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.
【详解】由题意可知，直线可以化为，
所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.
故答案为：.
14、6
【解析】化简得出，由化简后根据均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.
【详解】，
由得：，（当且仅当时取等号），
所以的最小值为6.
故答案为：6
15、30
【解析】根据频率分布直方图中所以小矩形面积和为1，可得a值，根据总人数和频率，即可得答案.
【详解】因为频率分布直方图中所以小矩形面积和为1，
所以，解得，
所以分数在内的人数为.
故答案为：30
16、
【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论
【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设正项的等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；
（2）由，结合乘公比错位相减求和，即可求解.
小问1详解】
解：设正项的等比数列的公比为，显然不为1，
因为等比数列前4项和为且，可得，
解得，所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：由，
所以，
可得，
两式相减得，
所以.
18、（1）
（2），过程见解析
【解析】（1）写出函数的解析式，利用二项式定理可求得函数中含项的系数；
（2）利用错位相减法化简函数的解析式，求出解析式中含项的系数，再结合组合数公式化简可得结果.
【小问1详解】
解：当，时，，
的展开式通项为，
此时，函数中含项的系数之和为.
【小问2详解】
解：因为，①
则，②
①②得
，
所以，，
而为中含项的系数，
而函数中含项的系数也可视为中含项的系数，
故，
且，
故.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.
（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
【小问1详解】
因为D，H分别是PA，PC的中点，所以
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，
综上，，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF
由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，
所以，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF
由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG
【小问2详解】
在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，
所以，又，则
因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，
又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，
所以平面ABC，面ABC，故
综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

有，，，，则，，
设平面BPC的法向量为，则，令，则
设平面PCA的法向量为，则，令，则
所以．由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
20、 (1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.
【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.
【详解】（1）.
所以在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
所以又直线过点，
∴，
整理，得，∴，
∴，的斜率，
∴直线的方程为，切点坐标为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用双曲线定义，根据点到一个焦点的距离求点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【小问1详解】
是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去）
即点到另一个焦点的距离为；
【小问2详解】
P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
22、（1）椭圆方程为双曲线方程为；（2）12
【解析】（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在三角形中，利用余弦定理求出 cos∠的值，进一步求得sin∠的值，代入面积公式得答案
试题解析：（1）设椭圆方程为，双曲线方程为 （a，b，m，n>0，且a>b），
则解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，
∴椭圆方程为双曲线方程为
（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，
∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12
考点：椭圆双曲线方程及性质