2025-2026学年江苏省南通市天星湖中学高二上数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江苏省南通市天星湖中学高二上数学期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）
A. B.
C. D.
2．已知两直线与，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
3．渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）
A.1 B.
C. D.2
4．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5．下列语句中是命题的是
A.周期函数的和是周期函数吗？ B.
C. D.梯形是不是平面图形呢？
6．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）
A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0
C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥0
7．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）

A. B.
C. D.
8．已知抛物线=的焦点为F， M、N是抛物线上两个不同的点，若，则线段MN的中点到y轴的距离为（ ）
A.8 B.4
C. D.9
9．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）
A.120种 B.48种
C.36种 D.18种
10．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A.9 B.7
C.5 D.3
11．命题“，”的否定是
A ， B.，
C.， D.，
12．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与直线平行，则实数m的值为____________
14．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.
15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______
16．已知抛物线C：的焦点为F，过M（4，0）的直线交C于A、B两点，设，的面积分别为、，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）已知圆C上存在点M，使得三角形MAB的面积为，求点M的坐标
18．（12分）长方体中，，点分别在上，且.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
19．（12分）已知函数
（1）解不等式;
（2）若不等式对恒成立,求实数m的取值范围
20．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF

（1）求证：；
（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值
21．（12分）已知函数，求
（1）
（2）
（3）曲线在处的切线方程
22．（10分）已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】利用古典概型的概率公式求解.
【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：
，
其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，
所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，
故选：A
2、B
【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.
【详解】直线的方程化为：，显然，，
所以与间的距离为.
故选：B
3、B
【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.
【详解】因为双曲线近线方程为，
故双曲线为等轴双曲线，则a=b,
故离心率为 ，则 ，
故选：B.
4、B
【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.

5、B
【解析】命题是能判断真假的语句，疑问句不是命题，易知为命题，故选B
6、C
【解析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
7、B
【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解
【详解】解：为的中点，

故选：
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题
8、B
【解析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，再过MN的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯形的中位线定理可求得结果
【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线
如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN的中点作垂直于准线，垂足为，
则由抛物线的定义可得，
因为，所以，
因为是梯形的中位线，
所以，
所以线段MN的中点到y轴的距离为4，
故选：B

9、C
【解析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.
【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，
另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；
再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.
故选：C.
10、A
【解析】根据椭圆定义求得即可.
【详解】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9.
故选：A
11、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
考点：全称命题与特称命题
12、A
【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.
【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，
四边形ABCD的面积，
当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，
设，则，
，
直线BD方程为，同理得：，
则有，
当且仅当，即或时取“=”，而，
所以四边形ABCD面积最小值为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可
【详解】解：因为直线与直线平行，
所以，
解得
故答案为：
14、0
【解析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
所以.
故答案为：0.
【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.
15、
【解析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.
【详解】由题设，，又在 R上的单调递增函数，
∴恒成立，令，则，
∴当时，则递减；当时，则递增.
∴，故.
故答案为：.
16、
【解析】设直线的方程为，，与抛物线的方程联立整理得，由三角形的面积公式求得，再根据基本不等式可得答案.
【详解】解：由抛物线C：得焦点，又直线交C于A、B两点，所以直线的斜率不为0，
则设直线的方程为，，联立，整理得，则，
又，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）两点式求AB所在直线的斜率，结合点坐标求AB的垂直平分线，根据已知确定圆心、半径即可得圆C的方程；
（2）求AB所在直线方程，几何关系求弦长，由三角形面积求点线距离，设M所在直线为，由点线距离公式列方程求参数，进而联立直线与圆C求M的坐标
【小问1详解】
由题意知，AB所在直线的斜率为，又，中点为，
所以线段AB的垂直平分线为，即，
联立，得，半径，
所以圆C的方程为.
【小问2详解】
由题意，AB所在直线方程为，即，
圆心到直线AB的距离为，故，
因为三角形MAB的面积为，则点M到直线AB的距离为，
设点M所在直线方程为，所以，所以或，
当时，联立得：或，
当时，联立，无解；
所以或
18、（1）证明见解析.
（2）
【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；
（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面面角的空间向量求解方法可得答案.
【小问1详解】
证明：长方体中，平面，又平面，
又平面，
又平面
同理可证，而平面，
平面
【小问2详解】
解：以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

从而，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，
，
则，从而，令，则，得平面的一个法向量为

由图示得平面与平面所成的角为锐角，平面与平面所成的角的余弦值为
19、（1）
（2）
【解析】(1)移项,两边平方即可获解;
(2)利用绝对值不等式即可.
【小问1详解】
即
即,即
即即或
所以不等式的解集为
【小问2详解】
由题知对恒成立
因为.
所以,解得
即或,所以实数的取值范为
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.
（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，
又平面PBC，所以平面PBC，
因为平面平面，所以
【小问2详解】
因为平面平面ABC，取BC中点O，
连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，

所以平面ABC，故，又因，
所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
可得：，，，，，
所以，，，
设平面PAC的法向量为，则,则，
令，得，，所以，

所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
21、（1）
（2）
（3）y=
【解析】（1）由导数的运算法则求解即可；
（2）利用导函数计算即可；
（3）由导数的几何意义得出切线方程.
【小问1详解】

【小问2详解】

【小问3详解】
当时，f(x)=0，则切点为
所以切线方程是，即y=
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
【小问1详解】
解：设等差数列公差为，，

【小问2详解】
解：，
.