上海市崇明区崇明中学2025年高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

上海市崇明区崇明中学2025年高二数学第一学期期末考试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. B.
C.2 D.
2．若实数，满足约束条件，则的最小值为（）
A.-3 B.-2
C. D.1
3．已知，则下列三个数，，（）
A.都不大于-4 B.至少有一个不大于-4
C.都不小于-4 D.至少有一个不小于-4
4．若直线与圆：相切，则（ ）
A.-2 B.-2或6
C.2 D.-6或2
5．双曲线C:的右焦点为F，过点F作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为H1，H2.若，则双曲线C的离心率为（）
A. B.
C. D.2
6．命题：“∃x＜1，x2＜1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2＜1 B.∃x≥1，x2≥1
C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1
7．直线且的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）
A. B.
C. D.
9．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（）

A. B.
C. D.
10．设点是点，，关于平面的对称点，则（）
A.10 B.
C. D.38
11．已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
12．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.
14．已知曲线在处的切线方程为，则________
15．若圆心坐标为圆被直线截得的弦长为，则圆的半径为______.
16．若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求
18．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.
（1）求椭圆C的离心率
（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.
19．（12分） “绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%
（1）若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？
（2）到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？
（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，）
20．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，．且

（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值
21．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是

（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.
①证明：动直线恒过轴上一定点；
②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.
22．（10分）已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心
，又点在圆上，
，即
，故选A

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来
2、B
【解析】先画出可行域，由，作出直线向下平移过点A时，取得最小值，然后求出点A的坐标，代入目标函数中可求得答案
【详解】由题可得其可行域为如图，l：，当经过点A时，取到最小值，
由，得，即，
所以的最小值为
故选：B

3、B
【解析】利用反证法设，，都大于，结合基本不等式即可得出结论.
【详解】设，，都大于，
则，
由于，故，
利用基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故下列三个数，，至少有一个不大于，
故选：B.
4、B
【解析】利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出的值.
【详解】圆心为，半径为，由题意得：，解得：或6.
故选：B
5、D
【解析】将条件转化为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，可得，由离心率公式即可得解.
【详解】由题意，(为坐标原点)，
所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
所以，即，
所以离心率.
故选：D.
6、C
【解析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】根据含有量词的命题的否定，
则“∃x＜1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”.
故选：C.
7、C
【解析】由直线方程可知其斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】直线方程可化为：，直线的斜率，
直线的倾斜角为.
故选：C.
8、D
【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程
【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，
因为直线过点，所以，得，
所以直线方程为，
故选：D
9、D
【解析】先分别观察给出正方体的个数为：1，，，，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解
【详解】解：根据前面四个发现规律：，，，，，
累加得：，

，
故选：
【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题
10、A
【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长
【详解】点是点，，关于平面的对称点，
的横标和纵标与相同，而竖标与相反，
，，，
直线与轴平行，
，
故选：A
11、A
【解析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
易知平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，
故选：A
12、D
【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.
【详解】由题得，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立
，
而在区间上单调递减，

选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.
【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以， .
故答案为：.
14、1
【解析】先求导，由，代入即得解
【详解】由题意，

故答案为：1
15、
【解析】利用垂径定理计算即可.
【详解】设圆的半径为，
则，
得.
故答案为：.
16、
【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.
【详解】解：因为，不等式恒成立，
只要即可，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）9
【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；
（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列首项为，公比为
则有，解之得
则等比数列的通项公式.
【小问2详解】
由，可得
18、（1）
（2）1
【解析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；
（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.
【小问1详解】
解：设椭圆C：的上顶点为，
左顶点为，右顶点为，
因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,
所以，即，又
所以，解得；
【小问2详解】
因为点M（，）在椭圆C上，
所以，又，
解得，
所以椭圆方程为，，
则，
因为，
所以，
又，
所以，则，
设，则，
当时，则，不合题意；
当时，设直线方程为，
与题意方程联立，消去y得：
则，
所以，则，
因为，由，得，
因为，所以，
化简得，因，则.
19、（1）亿元
（2）该集团能通过该品牌汽车实现盈利
【解析】（1）由题意可求得第n年的销售量，第n年每辆车的平均销售利润，从而可求出第n年的销售利润，
（2）利用错位相减法求出到2027年年底销售利润总和，再与总投资额比较即可
【小问1详解】
设第n年的销售量为万辆，则该汽车的年销售量构成首项为10，公差为10的等差数列，所以，
设第n年每辆车的平均销售利润为元，则每辆汽车的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比数列，所以，
记第n年的销售利润为，则万元；
即第n年的销售利润为亿元
【小问2详解】
到2027年年底，设销售利润总和为S亿元，
则①，
②，
①﹣②得亿元，
而总投资为亿元，
因为，则到2027年年底，该集团能通过该品牌汽车实现盈利
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量、平面的法向量，由二面角的空间向量求法可得答案.
【小问1详解】
因为四边形是等腰梯形，，
所以，
所以，即
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面
【小问2详解】
以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，
所以，，，
由（1）可知平面的一个法向量为
设平面的法向量为，因为，，所以得
令，则，，所以，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21、（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；
（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，
求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.
【小问1详解】
根据题意得，，，又，
三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：
【小问2详解】
①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；
因为，所以设直线：，直线：；
由，解得，所以，
同理，.
当时，，
所以直线的方程为：，
整理得，此时直线过定点；
当时，直线的方程为：，此时直线过定点，
故直线恒过定点.
②根据题意得，，，
，所以

，当且仅当，
即时等号成立，故的面积的最大值为：.
【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
22、（1）时，函数在单调递增，无减区间；
时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）.
【解析】（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.
【详解】解:（1）函数定义域是，
，
当时，，函数在单调递增，无减区间；
当时，令，得到，即，
所以，，单调递增，
，，单调递减，
综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；
时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）由已知在恒成立，
令，，可得，
则，

所以在递增，
所以，
①当时，，在递增，
所以成立，符合题意.
②当时，，
当时，，
∴，使，
即时，
在递减，，不符合题意.
综上得
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.