2026届湖北省宜昌市远安县第一高级中学数学高二上期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届湖北省宜昌市远安县第一高级中学数学高二上期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为
A.15 B.
C.6 D.3
2．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数，在上随机任取一个数，则的概率为（）
A. B.
C. D.
4．已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）
A. B.
C. D.
5．已知数列满足，且，那（ ）
A.19 B.31
C.52 D.104
6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线
C.的一个零点为 D.在区间的最小值为1
8．已知F1、F2是双曲线E：( a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．向量，向量，若，则实数（）
A. B.1
C. D.
10．已知半径为2的圆经过点（5，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（）
A.10 B.11
C.12 D.13
11．下列语句为命题的是（）
A. B.你们好！
C.下雨了吗？ D.对顶角相等
12．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ）
A.2 B.3
C.-2 D.-3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.
14．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是______.
15．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.
16．直线的倾斜角为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，
（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？
18．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图

（1）求值并估计中位数所在区间
（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由
19．（12分）已知函数
（1）若函数的图象在点处的切线与平行，求b的值；
（2）在（1）的条件下证明：
20．（12分）在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.
（2）若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.
①写出X的分布列，并求数学期望；
②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.
21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.
22．（10分）已知圆，P（2，0），M点是圆Q上任意一点，线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，当M点在圆上运动时，点C的轨迹为曲线C
（1）求曲线C方程；
（2）已知直线l：x＝8，A、B是曲线C上的两点，且不在x轴上，，垂足为，，垂足为，若D（3，0），且的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果
【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，
∴2，
∴2＝a1+a1+5d，
解得2a1+5d＝2，
∴{an}前6项的和为2a1+5d）=
故选C
【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用
2、B
【解析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则，利用点差法可得答案.
【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则
因为，两式相减可得，，即
由中点公式可得，所以，即，
所以AB所在直线方程为，即
故选：B
3、A
【解析】先解不等式，然后由区间长度比可得.
【详解】解不等式，得，
所以，即的概率为.
故选：A
4、D
【解析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.
【详解】若，则，而，
此时，这与题设不合，
故，故，
故
，
而
，
故，此时不确定，
故选：D.
5、D
【解析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】因为，所以有，因此数列是公比的等比数列，
因为，
所以，
故选：D
6、A
【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，
根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点在第一象限，

由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
设点，由，得，
因为四边形的面积为，
所以，得，
由，得，解得，
所以，即点，代入椭圆方程，
得，整理得，
由，得，
解得，由，得.
故选：A
7、D
【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.
【详解】函数，周期为，故A错误；
函数图像的对称轴为，，，
不是对称轴，故B错误；
函数的零点为，，，
所以不是零点，故C错误；
时，，所以，即，所以，故D正确.
故选：D
8、D
【解析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，求出离心率.
【详解】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形，
即，
因为，
设，则，
由双曲线定义可知：，
所以，则，
又，
所以，
解得：，
由勾股定理得：，
其中，
在三角形中，由勾股定理得：，
即，解得：

故选：D
9、C
【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
10、B
【解析】由条件可得圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，然后可得答案.
【详解】因为半径为2的圆经过点（5，12），
所以圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，
所以圆心到原点的距离的最小值为，
故选：B
11、D
【解析】根据命题的定义判断即可.
【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.
故选：D
12、A
【解析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案.
【详解】因为，，且q为整数，
所以，，即q=2.
所以.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.； ②.
【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，所以数列是以，公差为的等差数列，
所以；
因为，
所以，
于是，
故答案为：；
14、
【解析】化简椭圆的方程为标准形式，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，方程可化为，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，
实数的取值范围是.
故答案为：.
15、8
【解析】根据椭圆方程列方程，解得结果.
【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，
所以
故答案为：8
【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.
16、
【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出
【详解】设直线的倾斜角为
由直线化为，故，
又，故，故答案为
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；
（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.
【小问1详解】
记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，
则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，
则

故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是
【小问2详解】
记事件B为购买的电器合格，
记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，
，，，，，，

故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为
18、（1）；中位数所在区间
（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析
【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.
（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.
【小问1详解】
，解得
成绩在区间上的频率为，，
所以中位数所在区间，
【小问2详解】
选成绩最好的同学去参赛，
分数在之间共有人，
所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意可得，从而可求出，
（2）先构造函数，利用导数可求得对任意恒成立，对任意恒成立，从而将问题转化为只需证对任意恒成立，再次构造函数，利用导数求出其最大值小于等于即可
【详解】（1）解：
∵函数的图象在点处的切线与平行，
∴，
解得；
证明：（2）由（1）得
即对任意恒成立，
令，则，
∵当时，，
∴函数在上单调递增，
∵，∴对任意恒成立，
即对任意恒成立，
∴只需证对任意恒成立即可，
即只需证对任意恒成立，
令，则，
由单调递减，且知，
函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴得证，
故不等式对任意恒成立
20、（1）65分（2）①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元
【解析】（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，
（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得其分布列和期望，②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则，然后由①结合期望的性质可求得答案
【小问1详解】
这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.
由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分.
【小问2详解】
①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，
X的可能取值分别为0，1，2，3，
，，
，，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P

故.
②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则（元），
所以元，
故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元.
21、（1）＝0.3x－0.4；（2）正相关；（3）1.7(千元).
【解析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；.
（2）由判断；
（3）将x＝7代入回归方程求解.
【详解】（1）由题意知
n＝10，，
则，
所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.
（2）因为，
所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.
（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
22、（1）
（2）
【解析】（1）由定义法求出曲线C的方程；
（2）先判断出直线AB过定点H(2,0)或H(4,0).当AB过定点H(4,0)，求出最大；当H(2,0)时，可设直线AB：.用“设而不求法”表示出，不妨设（），利用函数的单调性求出△ABD面积的最大值.
【小问1详解】
因为线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，所以,
所以,符合椭圆的定义，
所以点C的轨迹为以P、Q为焦点的椭圆，其中，所以
，
所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
不妨设直线l：x＝8交x轴于G(8,0)，直线AB交x轴于H(h,0)，则,.
因为，， ，所以.
又因为的面积是△ABD面积的5倍，所以.
因为G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).
当H(4,0)时，则H与A（或H与B）重合，不妨设H与A重合，此时，，
要使△ABD面积最大，只需B在短轴顶点时，=2最大，所以最大；
当H(2,0)时，要想构成三角形ABD，直线AB的斜率不为0，可设直线AB：.
设,则，消去x可得：，
所以，，，
所以.
不妨设（），则，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，所以当t=4时，，此时最大
综上所述，△ABD面积的最大值为.
【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（2）解析几何中最值计算方法有两类：
①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：表示为函数，利用函数求最值.