2025年峨眉山市第七教育发展联盟高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年峨眉山市第七教育发展联盟高二上数学期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）
A. B.
C.或 D.
2．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为
A. B.
C. D.
3．设变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A.3 B.－3
C.2 D.－2
4．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()
A. B.
C. D.
5．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）
A. B.
C. D.
6．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）
A.24种 B.81种
C.64种 D.256种
7．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A.函数有极大值 和极小值
B.函数有极大值 和极小值
C.函数有极大值 和极小值
D.函数有极大值 和极小值
8．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则公比()
A. B.2
C.2或 D.4
9．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
10．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）

A. B.
C. D.
12．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知曲线在处的切线方程为，则________
14．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______
15．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，则＋B－C的最小值为________
16．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆心在直线上，且过点、
（1）求的标准方程；
（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程
18．（12分）已知正项数列的前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19．（12分）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点

（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若，求以为直径的圆方程；
（3）当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由
20．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）已知椭圆的焦点在x轴上且一个顶点为，离心率为；
（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程；
（3）抛物线，过其焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2.
21．（12分）在数列中，，，
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
22．（10分）已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和 .
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.
【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：D.
2、B
【解析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解.
【详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为．故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.
3、D
【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解
【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线，平移该直线，
当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，
此时，
故选：D
4、A
【解析】根据双曲线渐近线方程得a和b的关系，根据焦点在抛物线准线上得c的值，结合a、b、c关系即可求解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线方程是，
∴，
∵准线方程是，∴，
∵，∴，，
∴双曲线标准方程为：.
故选：A.
5、D
【解析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.
【详解】设点，其中，则，，
取，则，
可得，因为，可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
6、D
【解析】利用分步乘法计数原理进行计算.
【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有种.
故选：D
7、D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
8、B
【解析】由两式相除即可求公比.
【详解】设等比数列的公比为q，∵其各项均为正数，故q＞0，
∵，∴，又∵，∴=4，则q＝2.
故选：B.
9、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
10、B
【解析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果.
【详解】解：根据双曲线定义：，，
∴，
∴，，，
∴是圆的直径，
∴，中，，得
故选
【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
11、A
【解析】利用向量的加法法则直接求解.
【详解】在四面体中，，分别是，的中点，

故选：A
12、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】先求导，由，代入即得解
【详解】由题意，

故答案为：1
14、
【解析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.
【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.
15、2
【解析】因为{an}为等差数列，设公差为d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，
得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，
即 (d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立
所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.
16、
【解析】先利用关于原点对称的点的坐标特征求出点，再利用空间两点间的距离公式即可求.
【详解】因为B与关于原点对称，故，
所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程；
（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程
【详解】由点、可得中点坐标为，，
所以直线的垂直平分线的斜率为，
可得直线的垂直平分线的方程为：即，
由可得：，所以圆心为，
，
所以的标准方程为，
（2）设直线的方程为即，
圆心到直线的距离，
则可得，
即，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或
18、（1）
（2）
【解析】小问1：利用通项公式与的关系即可求出；
小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和
【小问1详解】
当时，，.
当时，，…①，，…②
①②得：，
即：.
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
；
【小问2详解】
由（1）可知，则
，…①
两边同乘得：，…②
①②得：
，
.
19、（1）或
（2）
（3）过定点，定点坐标为
【解析】（1）对所求直线的斜率是否存在进行分类讨论，在所求直线斜率不存在时，直接验证直线与圆相切；在所求直线斜率存在时，设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，求出的值，综合可得出所求直线的方程；
（2）分点在轴上方、点在轴下方两种情况讨论，求出点、的坐标，可得出所求圆的圆心坐标和半径，即可得出所求圆的方程；
（3）设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可求得以线段为直径的圆的方程，并化简圆的方程，可求得定点的坐标.
【小问1详解】
解：易知圆的方程为，圆心为原点，半径为，
若所求直线的斜率不存在，则所求直线的方程为，此时直线与圆相切，合乎题意，
若所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为，即，
由已知可得，解得，此时所求直线的方程为.
综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或.
【小问2详解】
解：易知直线的方程为，、，
若点在轴上方，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，且，此时，所求圆的方程为；
若点在轴下方，同理可求得所求圆的方程为.
综上所述，以为直径的圆方程为.
【小问3详解】
解：不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段中点为，，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的定点.
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意，进而结合求解即可得答案；
（2）设双曲线的方程为，进而结合题意得，，再结合解方程即可得答案；、
（3）根据题意设直线的方程为，进而与抛物线联立方程并消去得，再结合韦达定理得，进而得答案.
【小问1详解】
解：根据题意，设椭圆的标准方程为，
因为顶点为，离心率为，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
解：因为双曲线的一个焦点为，
设双曲线的方程为，
因为渐近线方程为，
所以，因为
所以，
所以双曲线的标准方程为
【小问3详解】
解：由题知抛物线的焦点为，
因为过抛物线焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，
所以直线的方程为，
所以联立方程，消去得，
设，
所以，
因为线段AB的中点的纵坐标为2，
所以，解得.
所以抛物线的标准方程为.
21、（1）略（2）
【解析】（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，
②-①得.
试题解析：（1）∵， ，又∵，∴，
，∴则是为首项为公差的等差数列；
由（1）得 ，∴，
∴①，
①得：②，
②-①得.
考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.
22、（1）；；（2）
【解析】（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和
试题解析：（1）∵，∴当时，.
当时，.
∵时，满足上式，∴.
又∵，∴，解得：.
故，，.
（2）∵，，
∴①
②
由①-②得：

∴，.
考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和
【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和