成都市田家炳中学2026届数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

成都市田家炳中学2026届数学高二第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，四边形是梯形，，且，则的面积为（）

A. B.
C. D.
2．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）
A. B.
C. D.
3．某校开学“迎新”活动中要把3名男生，2名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排女生，则安排方法的种数为（ ）
A.72 B.56
C.48 D.36
4．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A. B.
C. D.
5．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（ ）
A.或 B.或
C. D.
6．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（　　）

A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）
C.（8，16，4） D.（16，0，4）
9．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（）
A. B.
C. D.
10．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）
A. B.
C. D.1
11．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
12．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）
A.24种 B.6种
C.4种 D.12种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列满足，，则___________.
14．已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则__________.
15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________
16．已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，证明：存在唯一的零点；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）已知等比数列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中项.数列{bn}满足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}前n项和Tn.
19．（12分）为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图

（1）求直方图中a的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；
（2）已知该样本分数在的学生中，男生占，女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人，求至少有人是女生的概率.
20．（12分）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值
21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1) 证明：PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积
22．（10分）如图，在棱长为的正方体中，为中点

（1）求二面角的大小；
（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接、，分析可知、、三点共线，设点、，设直线的方程为，分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】设点关于原点的对称点为点，连接、，如下图所示：

因为为、的中点，则四边形为平行四边形，可得且，
因为，故、、三点共线，设、，
易知点，，，
由题意可知，，可得，
若直线与轴重合，设，，则，不合乎题意；
设直线的方程为，联立，可得，
由韦达定理可得，得，
，则，可得，故，
因此，.
故选：A.
2、C
【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.
【详解】求解不等式可得：，
由几何概型的概率计算公式可得：
在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.
故选：.
3、A
【解析】以位置优先法去安排即可解决.
【详解】第一步：安排甲岗位，由3名男生中任选1人，有3种方法;
第二步：安排余下的4个岗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有种方法
故安排方法的种数为
故选：A
4、B
【解析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得
所求椭圆方程为，故选B
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养
5、A
【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
II卷
6、A
【解析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点，令可得出，令，问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，，此时两个函数的图象无交点；
当时，由得，可得，
令，其中，则直线与曲线有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，作出直线与曲线如下图所示：

由图可知，当时，即当时，
指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.
故选：A.
7、A
【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.
【详解】如下图：
设直线l的方程为即

圆心为，半径是1
又直线与圆有两个不同的交点

故选：A

8、A
【解析】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】，
故选：A
9、A
【解析】设出点坐标，求得、所在直线的斜率，由斜率之积是列式整理即可得到点的轨迹方程，设，根据双曲线的定义，从而求出的最小值；
【详解】解：设点坐标为，则直线的斜率；
直线的斜率
由已知有，
化简得点的轨迹方程为
又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为；
故选：A
10、B
【解析】利用正弦定理求解.
【详解】在中，由正弦定理得，
解得，
故选：B.
11、A
【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围
【详解】解：命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
时，不等式为，显然成立；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A
12、B
【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可
【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据题中所给的递推式得到数列具有周期性，进而得到结果.
【详解】根据题中递推式知，

可知数列具有周期性，周期为3，
因为
故
故答案为：
14、
【解析】由题得，解方程组即得解.
【详解】解：由题得，
因为是直线的一个方向向量，
所以，所以，
所以.
故答案为：
15、
【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.
【详解】解：因，
所以，
又
故切线方程为，
整理为，
故答案为：
16、7
【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.
【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，
由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：

由双曲线定义有，又，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，求导得到，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；
（2）当且时，不满足题意，故，又定义域为，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数的取值范围
【详解】（1）函数的定义域为，当时，由，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；.
且，故存在唯一的零点；
（2）当时，不满足恒成立，故
由定义域为，可得，
令，则，
则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最大值（1），
故实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：
参变分离法，将不等式恒成立问题转化函数求最值问题；
主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；
分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；
数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解
18、 (1)；(2).
【解析】(1)根据已知条件求出等比数列的公比，然后利用等比数列通项公式求解即可；
(2)根据已知求出数列的通项公式，再结合(1)中结论并利用分组求和法求解即可.
【详解】(1)设等比数列公比为q，
因为，所以，
因为是和的等差中项，所以，即，解得，
所以.
故答案为：.
(2)因为，所以为等差数列，
因为，，所以公差，
故.
所以

.
故答案为：.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用频率和为1求出a；利用百分位数的定义求出知识竞赛成绩的第50百分位数；
（2）先利用分层抽样求出男、女生的人数，利用古典概型求概率.
【小问1详解】
，由，解得
设该次知识竞赛成绩的第50百分位数为x，则，解得：.
即该次知识竞赛成绩的第50百分位数为
【小问2详解】
由频率分布直方图可知：分数在）的人数有人，所以这人中，女生有人，记为、，男生有人，记为、、、
从这人中随机选取人，基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种不同取法；
则至少有人是女生的基本事件为、、、、、、、、，共种不同取法，
则所求的概率为
20、（1）
（2）6
【解析】（1）由椭圆的定义求解
（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解
【小问1详解】
由题意可得，
所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；
【小问2详解】
由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，则由根与系数关系有，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，
所以四边形ABDE面积为，令得，
由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．
21、
【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积
试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD中点
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.

设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝.
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V＝××××＝.
考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
22、（1）
（2）点为线段上靠近点的三等分点
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，求出两个平面的法向量代入公式求解即可；
（2）假设存在，设，利用相等向量求出坐标，利用线面平行的向量法代入公式计算即可.
【小问1详解】
如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．所以，
设平面的法向量，所以，即，
令，则，，所以，
连接，因为，，，平面，
平面，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
由图知，二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
【小问2详解】
假设在线段上存在点，使得平面，
设，，
，
因为平面，所以，即
所以，即解得
所以在线段上存在点，使得平面，
此时点为线段上靠近点的三等分点