2025-2026学年辽宁省朝阳市普通高中高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025-2026学年辽宁省朝阳市普通高中高二数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则公比()
A. B.2
C.2或 D.4
2．已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条
A.0 B.1
C.2 D.3
3．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
4．曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（ ）
A.12 B.13
C.14 D.15
5．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率（ ）
A. B.
C. D.
6．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，另一组数据2、的中位数可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
9．2013年9月7日，总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）（其中，，）
A.2559万元 B.2969万元
C.3005万元 D.3040万元
10．在等差数列中，为其前n项和，，则（ ）
A.55 B.65
C.15 D.60
11．已知直线平分圆C：，则最小值为（）
A.3 B.
C. D.
12．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）
A. B.1
C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若过点和的直线与直线平行，则_______
14．已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________
15．正四棱柱中，，，点为底面四边形的中心，点在侧面四边形的边界及其内部运动，若，则线段长度的最大值为__________
16．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图,是平行四边形，已知，,平面平面.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值

18．（12分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和.
19．（12分）已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程，曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，点，求的值.
21．（12分）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值
22．（10分）已知点，圆C：，l：.
（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；
（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由两式相除即可求公比.
【详解】设等比数列的公比为q，∵其各项均为正数，故q＞0，
∵，∴，又∵，∴=4，则q＝2.
故选：B.
2、D
【解析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.
【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，
设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，
由消去y并整理得：，则，解得或，
因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，
所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.
故选：D
3、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

4、D
【解析】由题可知A，B为半圆C与抛物线的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.
【详解】由曲线，可得，
即，为圆心为，半径为7半圆，
又直线为抛物线的准线，点为抛物线的焦点，
依题意可知A，B为半圆C与抛物线的交点，
由，得，
设，则，，
∴.
故选：D.
5、D
【解析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到，利用离心率公式即可求得答案.
【详解】∵，∴，
故，
故选：D
6、D
【解析】由题意得当时，，根据题意作出函数的部分图象，再结合图象即可求出答案
【详解】解：当时，，
又，
∴当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，且；
又，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的倍，
作出其大致图象得，

当时，由得，或，
由图可知，若对任意，都有，则，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题
7、C
【解析】先根据题意对数据进行排列，然后由中位数的定义求解即可
【详解】因为由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，
所以另一组数据2、从小到大的排列为
，
所以这一组数的中位数为，
故选：C
8、D
【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.
【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.
因为是偶函数，所以当时，单调递减.
，，
，
或.
即不等式的解集为.
故选：D
9、B
【解析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求
【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，
则2020年投入资金万元，
年共7年投资总额为，
从2021年开始每年投入资金比上一年增加，
则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，
故从2021年到2024年投入总资金为，
故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元
故选：
10、B
【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.
【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.
故选:B
11、D
【解析】根据直线过圆心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】根据题意，直线过点，即，
则，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：D.
12、C
【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；
【详解】解：因为，又，所以，
因为，所以，所以，因为，
所以，即，所以或，即或（舍去），
所以，因为，所以，
所以；
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据两直线的位置关系求解.
【详解】因为过点和的直线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：3
14、
【解析】线段最短，就是说的距离最小，此时直线和直线垂直，可先求的斜率，再求直线的方程，然后与直线联立求交点即可
【详解】定点，点在直线上运动，
当线段最短时，就是直线和直线垂直，
的方程为：，它与联立解得，
所以的坐标是，
所以，
故答案为：
15、
【解析】根据正四棱柱的性质、矩形的性质，线面垂直的判定定理，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】当位于点时，
因为是正方形，所以，
由正四棱柱的性质可知，平面，因为平面，
所以，因为平面，
所以平面，平面，
所以，因此当位于点时，满足题意，
当点位于边点时，若，在矩形中，
,
因为，
所以，因此，
所以有，此时，
又平面，
所以平面，故点的轨迹在线段上，
，
所以线段长度的最大值为.
故答案为：

关键点睛：利用特殊点判断出点的轨迹是解题的关键.
16、∪
【解析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析;(2).
【解析】（1）推导出，取BC的中点F，连结EF ，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值
【详解】（1）∵是平行四边形，且
∴，故，即
取BC的中点F，连结EF.
∵
∴
又∵平面平面
∴平面
∵平面
∴
∵平面
∴平面，
∵平面
∴
（2）∵,由（Ⅰ）得
以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则
∴
设平面的法向量为，则，即
得平面一个法向量为
由（1）知平面，所以可设平面的法向量为
设平面与平面所成二面角的平面角为，则
即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.

【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点
（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标
（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论
18、（1）
（2）所有项的系数和为，二项式系数和为
【解析】(1)写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出m的值；
(2)令x＝1即可求所有展开项系数之和，二项式系数之和为2m.
【小问1详解】
展开式的通项为：，
∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
∴，即.
【小问2详解】
令可得展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的二项式系数和为.
19、 (1) （2）
【解析】（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b；（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值
【详解】试题解析：解：（1）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，
又椭圆E的离心率为，得a=，
于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，
，
，
=
=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣

要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）
当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，
点O到直线AB的距离d=，
△OAB面积S=
∴当t=0，△OAB面积的最大值为.
20、（1）直线的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为
（2）
【解析】（1）根据转换关系将参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程即可；
（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入曲线C的直角坐标方程，设点A，B对应的参数分别为，利用韦达定理即可得出答案.
【小问1详解】
解：将直线的参数方程中的参数消去得，
则直线的普通方程为，
由曲线C的极坐标方程为，
得，即，
由得曲线C的直角坐标方程为；
【小问2详解】
解：点满足，
故点在直线上，
将直线的参数方程化为标准形式（为参数），
代入曲线C的直角坐标方程为，
得，
设点A，B对应的参数分别为，
则，
所以.
21、（1）；
（2）证明见解析，定值为-1.
【解析】(1)根据给定条件探求出，再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.
(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0，写出直线的方程，再联立轨迹C的方程，借助韦达定理计算作答.
【小问1详解】
圆：的圆心，半径为8，
因A是圆上一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，
于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，
长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，
所以P点的轨迹C的方程是.
【小问2详解】
因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，
又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，
直线的方程为：，即，
由消去y并整理得：，
，即，则有且，
设，则，
直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，
，
所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.
22、（1）或
（2）
【解析】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；
（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.
【小问1详解】
由题意可知圆的圆心到直线的距离为
①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；
②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即
由点到直线距离公式列方程得：解得
综上，过的直线方程为或.
【小问2详解】
由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，

由勾股定理知：，
所以的最小值为.