2026届云南省通海县三中高二上数学期末教学质量检测试题含解析.doc

2026届云南省通海县三中高二上数学期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
2．等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.5
3．实数且，，则连接，两点的直线与圆C：的位置关系是（ ）
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
4．设变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A.3 B.－3
C.2 D.－2
5．已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．若数列的前项和，则此数列是（ ）
A.等差数列 B.等比数列
C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对
7．已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）
A.26 B.27
C.28 D.29
8．已知x是上的一个随机的实数，则使x满足的概率为（）
A. B.
C. D.
9．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（　　）
A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）
10．已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
11．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）

A B.
C. D.
12．设命题，则为
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1):
①点P到抛物线焦点的距离为
②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
③过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
其中正确的是________.
14．若圆平分圆的周长,则直线被圆所截得的弦长为____________
15．已知变量X，Y的一组样本数据如下表所示，其中有一个数据丢失，用a表示．若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为，则_________．
X
1
4
9
16
25
Y
2
a
36
93
142

16．已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是等差数列，
（1）求的通项公式；
（2）求的最大项
18．（12分）函数
（1）求在上的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围
19．（12分）在数列中，，，且对任意的，都有.
（1）数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和.
20．（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等

（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；
（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：
工龄x（单位：年）
4
6
8
10
12
生产速度y（单位：件/小时）
42
57
62
62
67
根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，
21．（12分）圆的圆心为，且与直线相切，求：
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程
22．（10分）在四棱锥中，平面，，，，，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A
2、C
【解析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算
【详解】设等比数列{}的公比为，则＝，＝，所以＝=.
又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，
＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，
所以＋＋＋＝2＋1＝3.
故选：C
3、B
【解析】由题意知，m，n是方程的根,再根据两点式求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解.
【详解】由题意知，m，n是方程的根，
，
，过，两点的直线方程为：，
圆心到直线的距离为：，故直线和圆相切，
故选：B
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解
【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线，平移该直线，
当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，
此时，
故选：D
5、D
【解析】根据给定递推公式求出即可计算作答.
【详解】因数列的前n项和为，，，则，
，，
所以.
故选：D
6、D
【解析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，所以是等差数列；
当时，为非等差数列，非等比数列’
当时，，所以是等比数列，
故选：D
7、B
【解析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可
【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,
故选:B
【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题
8、B
【解析】先解不等式得到的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解.
【详解】由得，即，
所以使x满足的概率为
故选：B.
9、A
【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.
【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，
，即方程有两个解，则有或.
故答案为:A.
【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.
10、A
【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
①直线与双曲线只有一个公共点；
②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；
③设过的切线方程为与双曲线联立，
可得，
由，即，解得，直线的条数为1.
综上可得，直线的条数为4.
故选：A,.
11、A
【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.
【详解】，表示两点连线斜率，
表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；
根据图象可知，.
故选：A
12、C
【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、②③④
【解析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；
求出直线的方程与抛物线联立切线的坐标，进而求出三角形的面积，判断②；
设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断③；
设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断④
【详解】解：由抛物线过点，所以，所以，
所以抛物线的方程为：；
可得抛物线的焦点的坐标为：，，准线方程为：，
对于①，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故①错误；
对于②，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，解得，
所以，故②正确；
对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立，
得：ky2－y＋1－k＝0，
＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，
所以切线方程为x－2y＋1＝0，故③正确；
对于④，设直线的方程为：，
与抛物线联立可得，所以，
所以，代入直线中可得，即，，
直线的方程为：，代入抛物线的方程，可得，
代入直线的方程可得，所以，，
所以为定值，故④正确
故答案为：②③④.
14、6
【解析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解
【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为
由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以
即,又,所以
到直线的距离
所以直线被圆所截得的弦长为
故答案为:6
15、17
【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出
【详解】因为，，所以
，解得
故答案为：17
16、
【解析】根据双曲线的定义先计算出，，注意到图中渐近线，于是利用两种不同的表示法列方程求解.
【详解】，则，由双曲线的定义及在右支上，
，又在左支上，则，则，在中，由余弦定理，，而图中渐近线，于是，得，于是，不妨令，化简得，解得，渐近线就为：.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
所以有，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知：，
当时，有最大项，最大项为：.
18、（1）单调递增区间为；单调递减区间为和
（2）
【解析】（1）求出，然后可得答案；
（2）由条件可得，设，则，然后利用导数可得在上单调递增，，然后分、两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
由题可得
令，得；
令，得，
所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和
【小问2详解】
由，得，
即
设，则
设，则
当时，，，所以
所以即在上单调递增，
则
若，则，
所以h(x)在上单调递增
所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意
若a＞2，则，必存在正实数，
满足：当时，，h(x)单调递减，
此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意
综上所述，a的取值范围是

19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由递推式可得，根据等比数列的定义写出通项公式，再由累加法求的通项公式；
（2）由（1）可得，再应用裂项相消法求前项和
【小问1详解】
由可得：，又， ，
∴，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴.
∴ .
【小问2详解】
∵，
∴
∴.
20、（1）
（2）80件/小时
【解析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；
（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.
【小问1详解】
解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，
由频率分布直方图，得，
即，解得，
则，，
所以中位数为.
【小问2详解】
解：由题意，得，
，
由所给公式，得，
，
所以回归直线方程为，
则当时，，
即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.
21、（1）
（2）或
【解析】由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求；
当直线的斜率不存在时，求得弦长为，满足题意；当直线的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求，则直线方程可求
【小问1详解】
由题意得：
圆的半径为，
则圆的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即
圆心到直线的距离，则，
解得
直线的方程为
直线的方程为或
22、（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】(1)根据给定条件证得即可推理作答.
(2)由已知条件，以点A作原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明即可作答.
(3)利用(2)中信息，借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
在四棱锥中，因分别是的中点，则，
因平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
在四棱锥中，平面，，
以点A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，而且，则，
，设平面的法向量，由，令，得，
又，因此有，
所以平面.
【小问3详解】
由(2)知，，令直线与平面所成角为，
则有，
所以直线与平面所成角的正弦值.