2026届山东青岛胶州市高二上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

2026届山东青岛胶州市高二上数学期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（）
A.既不互斥也不对立 B.互斥又对立
C.互斥但不对立 D.对立
2．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
3．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；④如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于；其中错误说法的个数是（）
A. B.
C. D.
4．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（）
A.1 B.
C.或1 D.或
5．函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，则的值为（）
A. B.0
C.1 D.
7．如图，在空间四边形中，（ ）

A. B.
C. D.
8．若函数恰好有个不同的零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．过两点和的直线的斜率为（）
A. B.
C. D.
11．设，分别为具有公共焦点与椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为
A. B.1
C.2 D.不确定
12．已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A.1 B.
C.1或 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若经过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则______.
14．随机投掷一枚均匀的硬币两次，则两次都正面朝上的概率为______
15．如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向作匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度作匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.

16．某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，x，8，y，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列的公比为，前项和为，，，
（1）求
（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式
18．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，其中为椭圆E的离心率
（1）求b的值；
（2）A，B分别为椭圆E的左右顶点，过点的直线l与椭圆E相交于M，N两点，直线与交于点T，求证：
22．（10分）如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点.

（1）证明：平面；
（2）若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.
【详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以它们的关系是互斥但不对立.
故选：C.
2、C
【解析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.
【详解】由题意，是的中垂线，故，

由对称性得，则，故，
∴.
故选：C.
3、C
【解析】根据统计的概念逐一判断即可.
【详解】对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；
对于②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；故②正确；
对于③，线性回归方程必过样本中心点，回归直线不一定就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，也可能不过任何一个点；③不正确；
对于④，如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于，不正确，应为相关系数的绝对值就越接近于；
综上，其中错误的个数是；
故选：C.
4、B
【解析】利用定义法进行判断.
【详解】把代入，得：，解得：或.
当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；
当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.
故.
故选：B
5、A
【解析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.
【详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；
因为，所以排除D；
因为，所以排除C，
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6、B
【解析】求导，代入，求出，进而求出.
【详解】，则，即，解得：，故，所以
故选：B
7、A
【解析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.
【详解】根据向量的加法、减法法则得.
故选：A.
8、D
【解析】分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】令，可得，构造函数，其中，
由题意可知，直线与函数的图象有个交点，
，由，可得或，列表如下：

增
极大值
减
极小值
增
所以，，，
作出直线与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点.
故选：D.
9、B
【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.
10、D
【解析】应用两点式求直线斜率即可.
【详解】由已知坐标，直线的斜率为.
故选：D
11、C
【解析】根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得a2+m2=2c2，再根据离心率的定义求解
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，
设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2m①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a②
又∵，
∴，可得∠F1PF2=900，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，
①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④
将④代入③，化简得a2+m2=2c2，即，
可得，
所以=.
故选：C
12、A
【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题意写出直线的方程与抛物线方程联立，得出韦达定理，由弦长公式可得答案.
【详解】设，则直线的方程为
由，得
所以
所以
故答案为：
14、##
【解析】列举出所有情况，利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】随机投掷一枚均匀的硬币两次，
共有：正正，正反，反正，反反共4种情况，
两次都是正面朝上的有：正正1种情况，
所以两次都正面朝上的概率为，
故答案为：
15、##
【解析】画出符合要求的图形，观察得到轨迹是菱形，并进行充分性和必要性两方面的证明，并求解出轨迹图形的面积.
【详解】如图，分别是正方形ABCD，，的中心，下面进行证明：菱形EFGC的周界即为动线段PQ的中点H的轨迹，
首先证明：如果点H是动线段PQ的中点，那么点H必在菱形EFGC的周界上，
分两种情况证明：（1）P，Q分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设P从B到C，而Q同时从到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中点H必在上；
（2）P，Q分别在两条异面直线上，不失一般性，设P从A到B，同时Q从到，由于速度相同，则，由于H为PQ的中点，连接并延长，交底面ABCD于点T，连接PT，则平面与平面交线是PT，
∵∥平面，
∴∥PT，
∴，
而，∥BC，
∴是等腰直角三角形，，从而T在AC上，可以证明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行线的唯一性，显然H在DG上，

综合（1）（2）可证明，线段PQ的中点一定在菱形EFGC的周界上；
下面证明：如果点H在菱形EFGC的周界上，则点H必定是符合条件的线段的中点.
也分两种情况进行证明：
（1）H在CG或CE上，过点H作PQ∥（或BD），而与BC及（或CD及BC）分别相交于P和Q，由相似的性质可得：PH=QH，即H是PQ的中点，同时可证：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合题设条件

（2）H在EF或FG上，不失一般性，设H在FG上，连接并延长，交平面AC于点T，显然T在AC上，过T作TP∥CB于点P，则TP∥，在平面上，连接PH并延长，交于点Q，在三角形中，G是的中点，∥AC，则H是的中点，于是，从而有，又因为TP∥CB，，所以，从而，因此P，Q符合题设条件.

由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一点，则H必是符合题设条件的动线段PQ的中点，证毕.
因为四边形为菱形，其中，所以边长为且，为等边三角形，，所以面积.
故答案为：
【点睛】对于立体几何轨迹问题，要画出图形，并要善于观察，利用所学的立体几何方面的知识，大胆猜测，小心验证，对于多种情况的，要画出相应的图形，注意分类讨论.
16、1
【解析】根据平均数和方差的计算公式，求得，则问题得解.
【详解】由题可知：整理得：；
，
整理得：，联立方程组得，
解得或，对应或，故.
故答案为：1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2），
【解析】（1）设出等比数列的首项和公比，根据已知条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则通项公式可求；
（2）根据题意表示出斜率关系，然后采用累加法求解出的通项公式.
【详解】（1）因为等比数列的公比为，，，
由已知，，得，
解得或（舍），
所以，
，
由得，所以
所以，
（2）由直线的斜率为，得，即，
由，，，，，
可得，
所以，
当时也满足，
所以，
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.
（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.
【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，
∴C的方程为.
（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，
∴联立抛物线方程，得：，，
若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，
∴，即，得，
∴直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)由可得,再结合和线面垂直的判定定理可得平面,则,再由可得平面.
(2) 以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：∵为矩形，且，
∴.
又∵，.∴，.
又∵，，
∴平面.
∵平面，∴
又∵，，
∴平面.
（2）解：以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
∴，，
设平面法向量
则，即
∴，
∴
∴直线与所成角的正弦值为.

20、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，
原点到直线的距离为，，即①.
联立直线与椭圆方程可得，
则，则，
由韦达定理可得，.
，则为线段的中点，所以，，
，得，，
所以，，整理可得，
解得，即，，
因此，直线的方程为或.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21、（1）1（2）证明见解析
【解析】（1）根据点在椭圆E上建立方程，结合，然后解出方程即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，表示出直线与，求得交点的坐标，再分别表示出直线和的斜率并作差，通过韦达定理证明直线和的斜率相等即可.
【小问1详解】
由点在椭圆E上，得：
又，即
解得：
【小问2详解】

依题意，得，且直线l与x轴不会平行
设直线l的方程为，，
由方程组
消去x可得：
则有：，且
直线的方程为，直线的方程为
由方程组
可得：
设直线的斜率分别是，则有：

可得：
又

可得：
故
【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系
（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22、（1）证明见解析；
（2）存在，点与点重合.
【解析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，分析可知，设点，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：因为为圆的一条直径，且是圆上异于、的点，故，
又因平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，

则，，，，，，
由直线平面且过点，以及平面，得，
设，则，，，
设平面的法向量为，
则则，即，取，得，
易知平面的法向量，
设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，
则，
，
由，得，即，解得，
所以当点与点重合时，直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等.