宁德市重点中学2025年数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

宁德市重点中学2025年数学高二上期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不存在
2．椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（）
A.48 B.40
C.28 D.24
3．在等差数列中，若，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为
A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
5．已知中，内角，，的对边分别为，，，，.若为直角三角形，则的面积为（ ）
A. B.
C.或 D.或
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（）
A. B.3
C.2 D.
7．圆与圆的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.外切 D.外离
8．气象台正南方向的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（ ）
A. B.
C. D.
9．对于两个平面、，“内有三个点到的距离相等”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
11．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）
A. B.0
C.1 D.2
12．已知，，，，则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点为椭圆上的一动点，则点到直线的距离的最小值为___________.
14．设、分别是椭圆的左、右焦点．若是该椭圆上的一个动点，则的最大值为_____
15．已知直线，，为抛物线上一点，则到这两条直线距离之和的最小值为___________.
16．已知，点在轴上，且，则点的坐标为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活棕榈树的株数，数学期望.
（1）求p的值并写出的分布列；
（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
18．（12分）为了符合国家制定的工业废气排放标准，某工厂在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，对其排放的废气中的二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该工厂每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为200元
（1）该工厂每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该工厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家每月至少应补贴多少元才能使工厂不亏损？
19．（12分）如图，点是曲线上的动点(点在轴左侧)，以点为顶点作等腰梯形，使点在此曲线上，点在轴上.设，等腰梯的面积为.

（1）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；
（2）当为何值时，等腰梯形的面积最大？求出最大面积.
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与相交于A、两点，设，求.
21．（12分）如图，在长方体中，，若点P为棱上一点，且，Q，R分别为棱上的点，且.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
22．（10分）已知空间三点.
（1）求以为邻边平行四边形的周长和面积;
（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】应用直线与圆的相离关系可得，再由余弦定理及三角形内角的性质即可判断三角形的形状.
【详解】由题设，，即，又，
所以，且，
故以，，为边长的三角形为钝角三角形.
故选：A.
2、D
【解析】根据给定条件结合椭圆定义求出，再判断形状计算作答.
【详解】椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得，
而，且，则有是直角三角形，，
所以的面积为24.
故选：D
3、C
【解析】利用等差数列性质可求得，由可求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，，
解得：；
又，.
故选：C.
4、A
【解析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集
【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，
所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，
又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，
因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选A

【点睛】本题考查导数乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题
5、C
【解析】由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解
【详解】由正弦定理，可化为：
，即，
所以，，所以，
又为直角三角形，
若，则，，，，
若，则，，，
故选：C
6、D
【解析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值
【详解】由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质可以得到，
而，
结合四边形对角线平分，
可得四边形为平行四边形，
结合，故，
对三角形，用余弦定理，得到，
结合，可得，
，，代入上式子中，
得到，即，
结合离心率满足，即可得出，

故选：D
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
7、C
【解析】分别求出两圆的圆心、半径，再求出两圆的圆心距即可判断作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆，即的圆心，半径，
则，即有，
所以圆与圆外切.
故选：C
8、D
【解析】利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图所示：设台风中心为，，小时后到达点处，即，

当时，气象台所在地受到台风影响，
由余弦定理可知：
，于是有：，
解得：，
所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是，
故选：D
9、B
【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.
【详解】充分性：若内有三个点到的距离相等，当这三个点不在一条直线上时，可得；当这三个点在一条直线上时，则、平行或相交，故充分性不成立；
必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，
所以“内有三个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
10、C
【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.
【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，
分别于联立，解得：，，
所以中点坐标为，
因为点满足，
所以，
所以，即，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.
11、C
【解析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案
【详解】解：，
当时，，即，解得；
当时，恒成立，
的零点为
又当时，为增函数，故在，上无极值点；
当时，，，
当时，，当时，，
时，取到极小值，即的极值点，

故选：C
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题
12、C
【解析】不等式性质相关的题型，可以通过举反例的方式判断正误.
【详解】若、均为负数，因为，则，故A错.
若、，则，故B错.
由不等式的性质可知，因为，所以，故C对.
若，因为，所以，故D错.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设与平行的直线与相切，求解出此时的方程，则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.
【详解】设与平行的直线，当与椭圆相切时有：
，所以，
所以，所以，
由题意取时，到直线的距离较小
此时与（即）的距离为，
所以点到直线距离的最小值为，
故答案为：.
14、4
【解析】设，写出、的坐标，利用向量数量积的坐标表示有，根据椭圆的有界性即可求的最大值.
【详解】由题意知：，，若，
∴，，
∴，而，则，而，
∴当时，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的坐标表示及椭圆的有界性求最值.
15、
【解析】过作，垂足分别为，由直线为抛物线的准线，转化，当三点共线时，取得最小值
【详解】过作，垂足分别为

抛物线的焦点为
直线为抛物线的准线
由抛物线的定义，
故，当三点共线时，取得最小值
故最小值为点到直线的距离：
故答案为：
16、
【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P的坐标为(0,0,3).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），分布列见解析；
（2）.
【解析】（1）根据二项分布知识即可求解；（2）将补种棕榈树的概率转化为成活的概率，结合概率加法公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，又，所以，
故未成活率为，
由于所有可能的取值为0,1,2,3,4，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为

0
1
2
3
4

【小问2详解】记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，，
所以需要补种棕榈树的概率为.
18、（1）600吨
（2）该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损
【解析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为z，，利用基本不等式求最值可得答案；
（2）设该工厂每月的利润为，利用配方求最值可得答案.
【小问1详解】
设该工厂每吨平均处理成本为z，
，
∴，
当且仅当，即时取等号，
当时，每吨平均处理成本最低.
【小问2详解】
设该工厂每月的利润为，
则，
∴，
当时，，
所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52500元才能使工厂不亏损.
19、（1）；
（2）当时取到最大值，
【解析】（1）设点，则根据题意得，，故；
（2）令，研究函数的单调性，进而得的最值，进而得的最大值.
【详解】解：（1）根据题意，设点，
由是曲线上的动点得：，
由于椭圆与轴交点为，故，
所以
即：
（2）结合（1），对两边平方得：
，
令，
则，
所以当时，，当时，，
所以在区间单调递增，在上单调递减，
所以在处取到最大值，，
所以当时，取到最大值，.
【点睛】本题考查利用导数研究实际问题，考查数学应用能力与计算能力，是中档题.
20、（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系式把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）易得满足直线的方程，转化为参数方程，代入曲线的普通方程，再利用韦达定理结合弦长公式即可得出答案.
【小问1详解】
解：曲线的参数方程为（为参数），
转化为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，即，
根据，
转化为直角坐标方程为；
【小问2详解】
解：因为满足直线的方程，
将转化为参数方程为（为参数），
代入，得，设A、两点的参数分别为，
则，
所以.
21、（1）
（2）
【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；
（2）用空间向量法求二面角
【小问1详解】
以D为坐标原点，射线方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
当时，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即
不妨得，，
又，所以，
则
【小问2详解】
在长方体中，
因为平面，所以平面平面，
因为平面与平面交于，
因为四边形为正方形，所以，
所以平面，即为平面的一个法向量，
，所以，
又平面的法向量为，
所以.
22、（1）周长为，面积为7.
（2）或.
【解析】（1）根据点，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距离，可以求出周长，再利用向量的夹角
公式求出夹角的余弦值，根据平方关系得到正弦值，再利用即可求解；
（2）首先设出，根据题意可得出的方程组，解出满足条件
所有的值即可求解.
【小问1详解】
由题中条件可知，，,
，.
所以以为邻边的平行四边形的周长为.
因为，
因为，所以.
所以.
故以以为邻边的平行四边形的面积为：
.
【小问2详解】
设，则，，
因为，且分别与垂直，得
，解得或
所以向量的坐标为或.