2025年甘肃省兰州市五十一中数学高二上期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年甘肃省兰州市五十一中数学高二上期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是
A.(1，) B.
C. D.
2．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
3． “”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知数列是递减的等比数列，的前项和为，若，，则=（ ）
A.54 B.36
C.27 D.18
6．已知p、q是两个命题，若“（￢p）∨q”是假命题，则（ ）
A.p、q都是假命题 B.p、q都是真命题
C.p是假命题q是真命题 D.p是真命题q是假命题
7．已知，，若，则xy的最小值是（）
A. B.
C. D.
8．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．等轴双曲线渐近线是（）
A. B.
C. D.
10．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）

A.7 B.10
C.13 D.16
11．已知抛物线y2= 2px（p> 0）的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（　　）
A. B.
C.1 D.2
12．设等比数列的前项和为，若，则的值是（ ）
A. B.
C. D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，，若，则____________.
14．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，则＋B－C的最小值为________
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.
16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.

（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.
19．（12分）设：函数的定义域为；：不等式对任意的恒成立
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围
20．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？
21．（12分）已知圆，直线
（1）求证：直线与圆恒有两个交点；
（2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围
22．（10分）已知数列的前n项和
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前n项和，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D
2、D
【解析】根据长方体中，异面直线和所成角即为直线和所成角，再结合余弦定理即可求解.
【详解】解：连接、，如下图所示

由图可知，在长方体中，且，所以，
所以异面直线和所成角即为，
又，，
由余弦定理可得∶
故选：D.
3、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.
【详解】若，则，即或，推不出；反过来，若，可推出.
故“”是“”的充分不必要条件
故选：A.
4、C
【解析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.
【详解】设，，,
依题意得,
即,
两边平方化简得,
所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，
当位于圆的最高点时的面积最大，所以 ,
解得；
当位于圆的最左端时的面积最小，所以,
解得,
故双曲线的离心率为.
故选: C.
5、C
【解析】根据等比数列的性质及通项公式计算求解即可.
【详解】由，
解得或（舍去），
，
，

故选：C
6、D
【解析】由已知可得￢p，q都是假命题，从而可分析判断各选项
【详解】∵“（￢p）∨q”是假命题，
∴￢p，q都是假命题，
∴p真，q假，
故选：D.
7、C
【解析】对使用基本不等式，这样得到关于的不等式，解出xy的最小值
【详解】因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立
故选：C
8、A
【解析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，
根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点在第一象限，

由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
设点，由，得，
因为四边形的面积为，
所以，得，
由，得，解得，
所以，即点，代入椭圆方程，
得，整理得，
由，得，
解得，由，得.
故选：A
9、A
【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.
【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；
若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.
综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
10、C
【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.
【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；
第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；
第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.
输出的i值为13.
故选：C.
11、C
【解析】根据正三角形的性质，结合抛物线的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：准线l与横轴的交点为，由抛物线的性质可知：，
因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以，，
显然，在直角三角形中，
，
故选：C

12、B
【解析】根据题意，由等比数列的性质可知成等比数列，从而可得，即可求出的结果.
【详解】解：已知等比数列的前项和为，，
由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1
即成等比数列，
，，
.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为向量，，，所以向量，因为，所以，即，解得
故答案为：
14、2
【解析】因为{an}为等差数列，设公差为d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，
得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，
即 (d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立
所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.
15、
【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.
【详解】设等差数列的公差为
由题可知
即
因为，所以解得：
所以.
故答案为：
16、
【解析】构造新函数，求导根据导数大于等于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案.
【详解】当时，不等式恒成立，
所以，所以在上是增函数，
，则上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；
（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；
【小问1详解】
解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；
18、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，
（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角
【小问1详解】
因为底面ABCD，平面，
所以
因为，
所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，点E为棱PC的动点，
所以，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则
设直线BE与平面PBD所成角为，则
，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，
【小问2详解】
，
因为E为棱PC上任一点，所以设，
所以，
因为，
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
取平面的一个法向量为，
设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则
，
所以二面角P-AB-E余弦值为

19、（1）
（2）
【解析】（1）由对数函数性质，转化为对任意的恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）利用基本不等式，求得当命题是真命题，得到，结合 “”为真命题，“”为假命题，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：因为是真命题，所以对任意的恒成立，
当时，不等式，显然在不能恒成立；
当时，则满足解得，
故实数的取值范围为
【小问2详解】
解：因为，所以，当且仅当时，等号成立
若是真命题，则；
因为“”为真命题，“”为假命题，所以与一真一假
当真假时，所以；
当假真时，所以，
综上，实数的取值范围为
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；
（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，再根据二次函数的性质可得最值.
【小问1详解】
由题设点到点的距离等于它到的距离，
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所求轨迹的方程为；
【小问2详解】
由题意易知直线的斜率存在，
设中点为，直线的方程为，
联立直线与抛物线，得，，
且，，
又中点为，即，，
故恒成立，
，，
所以，
当时，取最大值为.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果
（2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，取最小值，由此即可求出结果.
【小问1详解】
证明：由于直线，即
令，解得，
所以恒过点，所以，
所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点；
【小问2详解】
解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，
由圆的半径，所以的最大值为；
当和过的直径垂直时，取最小值，
此时圆心到的距离，
所以，故的最小值为
综上，的取值范围.
22、（1），；
（2），.
【解析】（1）根据的关系可得，根据等比数列的定义写出的通项公式，进而可得的通项公式；
（2）利用的关系求的通项公式，结合（1）结论可得，再应用分组求和、错位相消法求的前n项和
【小问1详解】
．①
当时，，可得
当时，．②
①－②得，则，而a1-1=1不为零，
故是首项为1，公比为2的等比数列，则
∴数列的通项公式为，
【小问2详解】
∵，
∴当时，，
当时，，又也适合上式，
∴，
∴，
令，，
则，又，
∴