2026届上海市吴淞中学数学高二第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2026届上海市吴淞中学数学高二第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，则实数等于（）
A1 B.2
C. D.
2．已知直线与直线平行，则实数a值为（）
A.1 B.
C.1或 D.
3．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
4．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．圆（）上点到直线的最小距离为1，则
A.4 B.3
C.2 D.1
6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）

A.100 B.
C.300 D.400
7．已知为偶函数，且，则___________.
8．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）
A. B.
C. D.
9．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.2
10．双曲线的渐近线的斜率是（）
A.1 B.
C. D.
11．若等比数列的前n项和，则r的值为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知数列满足，令是数列的前n项积，，现给出下列四个结论：
①； ②为单调递增的等比数列；
③当时，取得最大值； ④当时，取得最大值
其中所有正确结论的编号为（ ）
A.②④ B.①③
C.②③④ D.①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___
14．设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___
15．给定点、、与点，求点到平面的距离______.
16．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱、的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8

（1）求椭圆的方程；
（2）设点的坐标为
①当，，成等差数列时，求点的坐标；
②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由
18．（12分）某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排.中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，，，，，，，共个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩.该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：

（1）求图中的值；
（2）估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到等级及以上（含等级）？
（3）由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩及方差.已知某校初三共有名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到等级及以上（含等级）的人数，将该校学生的化学原始成绩看作服从正态分布，并用这名学生的化学平均成绩作为的估计值，用这名学生化学成绩的方差作为的估计值，计算人数（结果保留整数）
附：，，.
19．（12分）已知向量，
（1）求；
（2）求；
（3）若（），求的值
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，为侧棱包含端点上的动点.

（1）当时，求证平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
21．（12分）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于、两点，求三角形AOB的面积.
22．（10分）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解
【详解】因向量，，且，则，解得，
所以实数等于.
故选：C
2、A
【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A
3、B
【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.
【详解】A：若，，则或a，故A错误；
B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；
C：若，，则或α与β相交，故C错误；
D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.
故选：B.
4、B
【解析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答.
【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，
于是得函数在上单调递减，即，，即，
而在上单调递减，当时，，则，
所以k的取值范围是.
故选：B
5、A
【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.
【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题
6、B
【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出
【详解】设大圆锥的高为，所以，解得
故
故选：B
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题
7、8
【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，
【详解】为偶函数，且，
.
故答案为：8
8、B
【解析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.
【详解】是各项均为正数的等比数列，，
，，.
故选：B
9、A
【解析】先求出渐近线方程，进而将点代入直线方程得到a,b关系，进而求出离心率.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，而一条渐近线过点，则，.
故选：A.
10、B
【解析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，
渐近线的斜率是.
故选：B
11、B
【解析】利用成等比数列来求得.
【详解】依题意，等比数列的前n项和，
，
，所以.
故选：B
12、B
【解析】求出，即可判断选项①正确；求出，即可选项②错误；求出，利用单调性即可判断选项③正确；求出，即可判断选项④错误，即得解.
【详解】解：因为，①
所以，，②
①②得，，
整理得，
又，满足上式，所以，
因为，所以数列为等差数列，公差为，
所以，故①正确；
，因为，
故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，
因为，，
所以数列为递减的等比数列，故②错误；
，
因为为单调递增函数，
所以当最大时，有最大值，
因为，所以时，最大，
即时，取得最大值，故③正确；
设，
由可得，，解得或，
又因为，
所以时，取得最大值，故④错误；
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2π
【解析】由圆锥的侧面积公式即可求解
【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积
故答案为：2π.
14、4
【解析】取点，可得，从而，，从而可求解
【详解】解：由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号
故答案为：

15、
【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.
【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，
，
，即，
令，得

故答案为：.
16、
【解析】以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系，则，设，球心，得到外接球半径关于的函数关系，求出的最小值，即可得到答案；
【详解】解：以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系.
则，设，球心，
，又.
联立以上两式，得，所以时，，为最小值，
外接球表面积最小值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）①或；②过定点、，理由见解析.
【解析】（1）由焦点三角形的周长、离心率求椭圆参数，即可得椭圆方程.
（2）①由（1）可得，结合椭圆的定义求，即可确定的坐标；②由题设，求直线、的方程，进而求、坐标，即可得为直径的圆的方程，令求横坐标，即可得定点.
【小问1详解】
由题设，易知：，可得，则，
∴椭圆.
【小问2详解】
①由（1）知：，令，则，
∴，解得，故，此时或
②由（1），，，
∴可令直线：，直线：，
∴将代入直线可得：，，则圆心且半径为，
∴为直径的圆为，
当时，，又，
∴，可得或.
∴为直径的圆过定点、.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用点斜式写出直线、的方程，再求、坐标，根据定义求为直径的圆的方程，最后令及在椭圆上求定点.
18、（1）
（2）85（3）23
【解析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得；
（2）先根据矩形面积之和判断达到等级的最低分数为x所在区间，然后根据矩形面积之和等于0.9可得；
（3）由题知，所以由可得.
【小问1详解】
由
得
【小问2详解】
由题意可知，要使等级达到等级及以上，则成绩需超过的学生.
因为，

记达到等级的最低分数为x，则，
则由，解得
所以该市学生中考化学原始成绩不少于85分才能达到等级及以上.
【小问3详解】
由题知，
因为
所以
故该校学生的化学原始成绩达到等级及以上的人数大约为人.
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解；
（2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解；
（3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：因为，
所以，
即，
解得.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于，连接，证得，从而证得平面；
（2）过作于，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求面的法向量，由直线与平面所成角的正弦值为，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.
【详解】解：（1）连接交于，连接，

由题意，
∵，∴，∴，
又面，面，∴面.
（2）过作于，则在中，，，
，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，
，，，，
设向量为平面的一个法向量，
则由，有，令，得；
记直线与平面所成的角为，
则，解得，此时；
设向量为平面的一个法向量
则由，有，令，得；

∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，用向量法求线面角，二面角，还考查了学生的分析能力，空间想象能力，运算能力，属于中档题.
21、（1）
（2）
【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点的轨迹方程；
小问2：可知直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值，结合面积公式即可求解
小问1详解】
由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以，则，
所以动点的轨迹方程是.
【小问2详解】
由已知直线的方程是，设、，
由得，，
所以，则，故
，
22、（1）；
（2）存在；.
【解析】(1)根据给定条件求出a，c，b即可作答.
(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.
【小问1详解】
依题意，，，，
由椭圆定义知：椭圆长轴长，
即，而半焦距，即有短半轴长，
所以椭圆C的标准方程为：
【小问2详解】
依题意，设直线l方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，假定存在点，
直线TM与TN的斜率分别为，，

，
要使为定值，必有，即，
当时，，，
当时，，，
所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值