上海市实验学校2026届数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

上海市实验学校2026届数学高二上期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（）
A.3 B.4
C.6 D.
2．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）
A B.
C. D.
3．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为： 圆 圆 ，圆 若过原点的直线 与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（ ）

A. B.
C. D.
4．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆：，则圆，的公共弦长为
A. B.
C. D.2
6．已知向量，，，若，则实数（）
A. B.
C. D.
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）
A. B.
C. D.
8．已知是等比数列，则（ ）
A.数列是等差数列 B.数列是等比数列
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
9．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
11．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
12．若双曲线的渐近线方程为，则实数a的值为（）
A B.
C.2 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出一个同时满足下列条件①②的圆C的一般方程______
①圆心在第一象限；②圆C与圆相交的弦的方程为
14．设等差数列的前项和为，若，，则______
15．已知曲线与曲线有相同的切线，则________
16．盒子中放有大小和质地相同的2个白球、1个黑球，从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知直三棱柱中，，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的一点.

（1）证明：；
（2）当平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求点B到平面DFE距离.
18．（12分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.
19．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）过点作圆C的切线，求切线的方程
20．（12分）已知直线与抛物线交于两点
（1）若，直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；
（2）若交于，求的值
21．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知为数列的前项和，，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22．（10分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，的面积为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求得，由此求得四边形的面积.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，
所以，
由、两式相减并化简得，
即直线的方程为，
到直线的距离为，
所以，
所以四边形的面积为.
故选：A
2、B
【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为
【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为
令，得；
令，得
故所求三角形的面积为

故选：B
3、A
【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长
【详解】设过点的直线.由直线与圆 、圆 均相切，得 解得 (1).设点到直线的距离为 则 (2).又圆的半径直线截圆所得弦长 结合(1)(2)两式，解得
4、B
【解析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.
【详解】易知点、，设点，其中，，且，
，且，
，，所以，，
，
因为，
所以，，则，
因此，该双曲线渐近线方程为.
故选：B.
5、A
【解析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.
【详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,
将点代入方程,解得,
故方程为:,
两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,
圆心到该直线的距离为,
因此公共弦长为,
故选:A.
【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.
6、C
【解析】先根据题意求出，然后再根据得出，最后通过计算得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以，
即，解得.
故选：.
【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量垂直的相关性质，熟记运算法则即可，属于常考题型.
7、B
【解析】利用条件概率公式进行求解.
【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，
故选：B
8、B
【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.
【详解】若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.
9、B
【解析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.
【详解】由椭圆可得焦点为，
则设双曲线方程为，可得，
则离心率，解得，则，
所以渐近线方程为.
故选：B.
10、B
【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.
【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：
∴设双曲线：
∵双曲线与椭圆有相同的焦点
∴，解得：
∴双曲线的方程为.
故选：B.
11、D
【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案
【详解】设切点，点
由题意，抛物线C的准线，且由，得，
则直线的方程为，即，
联立令，得
由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立
因为，，
则，即对任意实数恒成立，
所以，即，所以，
故选：D
【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.
12、D
【解析】由双曲线的渐近线方程结合已知可得.
【详解】双曲线方程为
所以渐近线为，故，解得：.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（答案不唯一）
【解析】设所求圆为，由圆心在第一象限可判断出，只需取特殊值，即可得到答案.
【详解】可设所求圆为，即
只需，解得：，
不妨取，则圆的方程为：.
故答案为：（答案不唯一）
14、77
【解析】依题意利用等差中项求得，进而求得.
【详解】依题意可得，则，故
故答案为：77.
15、0
【解析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】设切点分别为，
由题意可得，则，即
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得
故答案为：0
16、
【解析】根据题意得到，计算得到答案.
【详解】根据题意：.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.
（2）利用平面DEF与平面所成的锐二面角的余弦值列方程，求得，结合向量法求得到平面的距离.
【小问1详解】
以B为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的建立空间直角坐标系.
设，可得，
，，.
，.
因为，所以.
【小问2详解】
，设为平面DEF的法向量，则，
即，可取.
因为平面的法向量为，所以
.
由题设，可得，
所以.
点B到DFE平面距离.

18、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.
（2）首先设，，再根据求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，且
根据椭圆的对称性得，
联立方程组，整理得，解得，
因为的面积为3，可得，解得.
19、（1）
（2）或
【解析】(1)由圆心在直线上，设，由点在圆上，列方程求，由此求出圆心坐标及半径，确定圆的方程；(2)当切线的斜率存在时，设其方程为，由切线的性质列方程求，再检验直线是否为切线，由此确定答案.
小问1详解】
因为圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为，
圆C过点，，所以，即，
解得，
则圆心，半径，所以圆的方程为；
【小问2详解】
当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线和圆相切，得，解得，所以直线方程为，
当切线的斜率不存在时，易知直线也是圆的切线，
综上，所求的切线方程为或
20、（1）6（2）2
【解析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；
（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得，根据数量积的计算即可得答案.
【小问1详解】
取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，重足分别为I，H，G，
在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，
EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，
所以AB=2EH=6.
【小问2详解】
设，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），
得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，
由得，
所以，
由，得，即，
即，可得，
即，所以p=2.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；
（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.
【小问1详解】
由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，
若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；
若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；
若选③：由，即，所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，所以数列为等差数列，所以.
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)由条件列方程求，由此可得抛物线方程；(2)方法一：联立直线与抛物线方程，结合条件三点共线，可证明直线过定点，方法二：联立直线与抛物线方程，联立直线与直线求，由垂直与轴列方程化简，可证明直线过定点.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以，即，
，因为，故解得，
抛物线的标准方程为
【小问2详解】
设直线的方程为，
由，得，所以，
由（1）可知
当时，，此时直线的方程为，
若时，
因为三点共线，所以，
即，
又因为，
，
化简可得，
又，进而可得，
整理得，因为
所以，
此时直线的方程为，
直线恒过定点
又直线也过点，
综上：直线过定点

解法二：设方程
，得

若直线斜率存在时
斜率
方程为即
解得：，于是有
整理得.
（*）代入上式可得
所以直线方程为
直线过定点.
若直线斜率不存在时，直线方程为
所以P点坐标为，M点坐标为此时直线方程为过点
综上：直线过定点.
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题