北京市十五中2025-2026学年数学高二上期末经典试题含解析.doc

北京市十五中2025-2026学年数学高二上期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）
A.2 B.4
C.8 D.16
2．过双曲线Ω：(a＞0，b＞0)右焦点F作x轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于2，其中A为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为(　　)
A.(1,3) B.(3，＋∞)
C.(1,) D.(，＋∞)
3．年月日我国公布了第七次全国人口普查结果.自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）

A.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破亿
B.第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高
C.我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势
D.我国历次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
4．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）

A. B.
C. D.
6．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C D.
7．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（　　）
A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0
C.∃x0∈R，|x0|+<0 D.∃x0∈R，|x0|+≥0
8．已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A B.
C. D.
9．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）
A. B.
C. D.
10．已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为（ ）
A. B.2
C. D.4
11．函数在处的切线方程为()
A. B.
C. D.
12．积分（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等差数列前项之和为，若，则________
14．已知，，若x，a，b，y成等比数列，x，c，d，y成等差数列，则的最小值为_____________.
15．若，，，，与，，，，，，均为等差数列，则______
16．如图，椭圆的中心在坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在处取得极值
确定a的值；
若，讨论的单调性
18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.

（1）求点到直线的距离
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（12分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.
20．（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝ (n∈N*).
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设bn＝－，求数列{bn}的前n项和Sn.
21．（12分）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.

（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
22．（10分）某话剧表演小组由名学生组成，若从这名学生中任意选取人，其中恰有名男生的概率是.
（1）求该小组中男、女生各有多少人？
（2）若这名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】直接利用公式计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，由已知，，
所以，解得.
故选：A
2、B
【解析】求点A和M的坐标，进而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，从而可解得离心率的范围.
【详解】F(c,0)，设M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，
由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，
又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，
即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.
答案：B
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3、D
【解析】根据统计图判断各选项的对错.
【详解】由统计图第五次全国人口普查时，男性和女性人口数都超过6亿，故总人口数超过12亿，A对，
由统计图，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比为107.56，超过余下几次普查的人口的性别比，B对，
由统计图可知，我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势，C对，
由统计图可知，第二次，第三次，第四次，第五次时总人口性别比呈递增趋势，D错,
D错，
故选：D.
4、C
【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.
【详解】解：抛物线的准线为
因为在抛物线的准线上

故其焦点为
故选：
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.
5、A
【解析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】由于M是的中点，
所以

故选：A
6、B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
7、C
【解析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
8、B
【解析】利用等差数列的性质可求得的值，再结合等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得的值.
【详解】由等差数列的性质可得，则，
故.
故选：B.
9、D
【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.
【详解】解：因为两点，则，
又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，
故选：D.
10、D
【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.
【详解】由题意可得：，，可以得到，
而，
可以令，
则有，
当且仅当取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查均值不等式，关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，是中档题.
11、C
【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
【详解】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故选：C﹒
12、B
【解析】根据定积分的几何意义求值即可.
【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，
所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.
【详解】由已知条件得,
故答案为：.
14、4
【解析】根据等差数列和等比数列性质把用表示，然后由基本不等式得最小值
【详解】由题意，，
所以，当且仅当时等号成立
故答案为：4
15、##
【解析】由题意利用等差数列的定义和通项公式，求得要求式子的值
【详解】设等差数列，，，，的公差为，
等差数列，，，，，，的公差为，
则有，且，
所以，
则，
故答案为：
16、或
【解析】写出，，求出，根据以及即可求解，
【详解】由题意，，，
所以，，
因为，则，
即，即，
所以，即，
解得或（舍）.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）在和内为减函数，在和内为增函数
【解析】（1）对求导得，
因为在处取得极值，所以，
即，解得；
（2）由（1）得，，
故
，
令，解得或，
当时，，故为减函数，
当时，，故为增函数，
当时， ，故为减函数，
当时，，故为增函数，
综上所知：和是函数单调减区间，
和是函数的单调增区间.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由直棱柱的性质及勾股定理求出△各边长，应用余弦定理求，进而可得其正弦值，再求边上的高即可.
（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，然后可算出答案.
【小问1详解】
如图，连接，由题设，，，，
由直棱柱性质及，在中，在中，
在中，在中，
所以在△中，，则，
所以到直线的距离.
【小问2详解】
以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

易知：，，，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，取，则，
所以，即平面与平面的夹角的余弦值为
19、（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；
（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.
【小问1详解】
（1）由条件得，
所以方程为
【小问2详解】
易知直线斜率存在，令，，，
由

，
因为，
所以，即①，
因为，
所以，即②
由①，由②

将，代入上式，
得
20、（1）证明见解析.
（2）2－.
【解析】（1）根据递推公式，得到，推出，即可证明数列是等比数列；
（2）先由（1）求出，即bn＝，再错位相减法，即可求出数列的和.
【小问1详解】
（1）证明：因为an＋1＝，所以＝＝＋，
所以－＝－＝，
又a1－≠0，所以数列为以－＝为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，
所以Sn＝＋＋＋…＋，①
所以Sn＝＋＋…＋＋，②
①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.
21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大
【解析】（Ⅰ）根据众数的定义直接可求出众为255.利用平均数的公式可以求出平均数．根据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图
（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可以求出可能取值、每个可能取值相应频率，每个可能取值相应的天数．分别求出空运250支， 255支百合花时，销售总利润的大小，进行比较，得出结论
【详解】解：（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数
频率分布直方图补充如下：

（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，
可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.
①若空运250支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
②若空运255支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.
【点睛】本题考查了众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息，用数学知识解决实际生活问题的能力
22、（1）男生人数为，女生人数为；
（2）.
【解析】（1）设男生的人数为，则女生人数为，且，根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；
（2）利用插空法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：设男生的人数为，则女生人数为，且，
由已知可得，即，
因为且，解得，
所以，该小组中男生人数为，女生人数为.
【小问2详解】
解：若男生不相邻，则先将女生全排，然后在女生所形成的个空中选个空插入男生，
因此，所有排法中男生不相邻的概率为.