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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,不等式、推理与证实,第 六 章,第,38,讲数学归纳法,1/28,考纲要求,考情分析,命题趋势,了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证实一些简单数学命题.,，重庆卷，22T,，陕西卷，21T,数学归纳法普通以数列、集合为背景，用“归纳猜测证实”模式考查.,分值：,0,5,分,2/28,板 块 一,板 块 二,板 块 三,栏目导航,板 块 四,3/28,普通地，证实一个与正整数,n,相关命题，可按以下步骤进行：,(1)(,归纳奠基,),证实当,n,取,n,0,(,n,0,N,*,),时命题成立；,(2)(,归纳递推,),假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证实当,n,k,1,时命题也成立,4/28,1,思维辨析,(,在括号内打,“”,或,“,”,),(1),用数学归纳法证实问题时，第一步是验证当,n,1,时结论成立,(,),(2),全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实,(,),(3),不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由,n,k,到,n,k,1,时，项数都增加了一项,(,),(4),用数学归纳法证实不等式,“,1,2,2,2,2,n,2,2,n,3,1,”,，验证,n,1,时，左边式子应该为,1,2,2,2,2,3,.(,),5/28,解析：,(1),错误用数学归纳法证实问题时，第一步是验证当,n,为初始值时结论成立，不一定是,n,1.,(2),错误不一定全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实,(3),错误不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由,n,k,到,n,k,1,时，项数增加依据题目而定,(4),正确用数学归纳法证实等式,“,1,2,2,2,2,n,2,2,n,3,1,”,，验证,n,1,时，左边式子应为,1,2,2,2,2,3,是正确,6/28,解析：,三角形是边数最少凸多边形，故第一步应检验,n,3.,C,7/28,3,用数学归纳法证实,“,1,2,2,2,2,n,1,2,n,1(,n,N,*,),”,过程中，第二步,n,k,时等式成立，则当,n,k,1,时，应得到,(,),A,1,2,2,2,2,k,2,2,k,1,2,k,1,1,B,1,2,2,2,2,k,2,k,1,2,k,1,2,k,1,C,1,2,2,2,2,k,1,2,k,1,2,k,1,1,D,1,2,2,2,2,k,1,2,k,2,k,1,1,解析：,由条件知，左边从,2,0,2,1,到,2,n,1,都是连续，所以当,n,k,1,时，左边应为,1,2,2,2,2,k,1,2,k,，而右边应为,2,k,1,1.,D,8/28,解析：,由,n,k,到,n,k,1,时，左边增加,(,k,1),2,k,2,，故选,B,B,9/28,5,用数学归纳法证实,“,当,n,为正奇数时，,x,n,y,n,能被,x,y,整除,”,，当第二步假设,n,2,k,1(,k,N,*,),时命题为真，进而需证,n,_,时，命题亦真,解析：,因为,n,为正奇数，所以与,2,k,1,相邻下一个奇数是,2,k,1.,2,k,1,10/28,数学归纳法证实等式思绪和注意点,(1),思绪：用数学归纳法证实等式问题，要,“,先看项,”,，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，初始值,n,0,是多少,(2),注意点：由,n,k,时等式成立，推出,n,k,1,时等式成立，一要找出等式两边改变,(,差异,),，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证实过程，不利用归纳假设证实，就不是数学归纳法,一数学归纳法证实等式,11/28,【,例,1】,求证：,1,2,2,2,3,2,4,2,(2,n,1),2,(2,n,),2,n,(2,n,1)(,n,N,*,),证实：,当,n,1,时，左边,1,2,2,2,3,，右边,3,，等式成立,假设,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，等式成立，即,1,2,2,2,3,2,4,2,(2,k,1),2,(2,k,),2,k,(2,k,1),当,n,k,1,时，,1,2,2,2,3,2,4,2,(2,k,1),2,(2,k,),2,(2,k,1),2,(2,k,2),2,k,(2,k,1),(2,k,1),2,(2,k,2),2,k,(2,k,1),(4,k,3),(2,k,2,5,k,3),(,k,1),2(,k,1),1,，所以,n,k,1,时，等式也成立由,得，等式对任意,n,N,*,都成立,12/28,二数学归纳法证实不等式,(1),当碰到与正整数,n,相关不等式证实时，应用其它方法不轻易证实，则可考虑应用数学归纳法,(2),数学归纳法证实不等式关键是由,n,k,成立，推证,n,k,1,时也成立，证实时用上归纳假设后，可采取分析法、综正当、作差,(,作商,),比较法、放缩法等方法证实,13/28,14/28,三归纳,猜测,证实,“,归纳,猜测,证实,”,模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用解题模式其普通思绪是：经过观察有限个特例，猜测出普通性结论，然后用数学归纳法证实这种方法在处理与正整数,n,相关探索性问题、存在性问题中有着广泛应用，其关键是归纳、猜测出公式,15/28,16/28,17/28,18/28,19/28,20/28,21/28,3,将正整数作以下分组：,(1),，,(2,3),，,(4,5,6),，,(7,8,9,10),，,(11,12,13,14,15),，,(16,17,18,19,20,21),，,，分别计算各组包含正整数和以下，试猜测,S,1,S,3,S,5,S,2,n,1,结果，并用数学归纳法证实,S,1,1,，,S,2,2,3,5,，,S,3,4,5,6,15,，,S,4,7,8,9,10,34,，,S,5,11,12,13,14,15,65,，,S,6,16,17,18,19,20,21,111,，,22/28,解析：,由题意知，当,n,1,时，,S,1,1,1,4,；当,n,2,时，,S,1,S,3,16,2,4,；,当,n,3,时，,S,1,S,3,S,5,81,3,4,；当,n,4,时，,S,1,S,3,S,5,S,7,256,4,4,；,猜测：,S,1,S,3,S,5,S,2,n,1,n,4,.,下面用数学归纳法证实：,当,n,1,时，,S,1,1,1,4,，等式成立,假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，即,S,1,S,3,S,5,S,2,k,1,k,4,，,那么，当,n,k,1,时，,S,1,S,3,S,5,S,2,k,1,S,2,k,1,k,4,(2,k,2,k,1),(2,k,2,k,2),(2,k,2,k,2,k,1),k,4,(2,k,1)(2,k,2,2,k,1),k,4,4,k,3,6,k,2,4,k,1,(,k,1),4,，所以当,n,k,1,时，等式也成立依据,和,，可知对于任意,n,N,*,，,S,1,S,3,S,5,S,2,n,1,n,4,都成立,23/28,4,已知函数,f,(,x,),x,x,ln,x,，数列,a,n,满足,0,a,1,1,，,a,n,1,f,(,a,n,),，,n,N,*,.,证实：对任意,n,N,*,，不等式,0,a,n,0,，故,f,(,x,),在,x,(0,1),时为单调递增函数,下面用数学归纳法证实：对任意,n,N,*,，不等式,0,a,n,1,都成立,当,n,1,时，已知,0,a,1,1,，不等式成立；,又当,n,2,时，由,a,1,ln,a,1,a,1,0,，且有,a,2,f,(,a,1,),a,1,a,1,ln,a,1,f,(1),1,，即,0,a,2,1,，不等式也成立,24/28,假设当,n,k,(,k,N,*,),时，有,0,a,k,a,k,1,1,成立，,则当,n,k,1,时，由,f,(,x,),在,x,(0,1),时为单调递增函数，,且,0,a,1,a,k,a,k,1,1,，得,f,(,a,k,),f,(,a,k,1,),f,(1),，,即,a,k,1,a,k,2,0,，所以有,0,a,k,1,a,k,2,1,，不等式也成立,综合,、,知，对任意,n,N,*,，不等式,0,a,n,1,都成立,25/28,错因分析：,归纳时找不准规律；,使用数学归纳法时，不能完成由,n,k,到,n,k,1,转化,易错点归纳不准,26/28,27/28,28/28,
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