初中数学巧用辅助圆解题.doc

初中数学巧用辅助圆解题添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，ABCD，ABACADp，BCq，求BD的长解析：以点A为圆心、AB为半径作A因为ABACAD，所以B、C、D三点在A上延长BA交A于点E，连结DE因为DCEB，所以弧ED弧BC，所以EDBCq在RtBDE中，根据勾股定理，得BD例2 如图， PAPB，APB2ACB，AC与PB交于点D，且PB5，PD3，求ADDC的值 解析：以点P为圆心、P为半径的作P因为PAPB，APB2ACB，所以点、B、C在P上此时P的直径BE10，DE8，DB2，由相交弦定理，得ADDCDEDB16二、作三角形的外接圆例3 如图，D、E为ABC边BC上的两点，且BD=CE，BAD=CAE，求证：AB=AC解析：作ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE因为BADCAE，所以BADDAECAE+DAE，即NADMAE因为BDMMAE，CENNAD，所以BDMCEN又BDCE，DMEN，所以BDMCEN，所以BC，即ABAC例4 如图，ABC中，BF、CE交于点D，BDCD，BDEA，求证：BECF 解析：作ABC的外接O，延长CE交O于G，连接BG因为GA，BDEA，所以GBDE，所以BG=BD又BDCD，所以BGCD.又因为GCDF，GBEDCF，所以GBEDCF所以BECF例5 如图，在ABC中，ABAC，BAC100，B的平分线交AC于D，求证：BCBDAD解析：作ABD的外接圆交BC于E，连结DE因为BD是ABC的平分线，所以弧AD弧DE，所以ADDE在BDE中，DBE20，BED18010080，所以BDE80，所以BEBD在DEC中，EDC804040，所以ECDE所以BCBEECBDAD三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在ABC中，ABAC，D是边BC上的一点，且A，求BDDC的值解析：以点A为圆心、AB为半径作A，交直线AD于点E、F，则点C在A上，DE，DF由相交弦定理，得BDDCDEDF2例7 如图，在ABC中，DABC，B的平分线BN交AD于M求证：（1）AMAN；（2）AB 2AN 2BMBN解析：（1）略；（2）由（1），得AMAN以点A为圆心、AM为半径作A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在A 上，且AEAFAN由割线定理，得BMBNBEBF(ABAE)(ABAF)(ABAN)(ABAN)AB 2AN 2，即AB 2AN 2BMBN四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，B90，设ABa，DCb，ADc，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使APPD？ 解析：以AD为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，当O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使APPD因为O的半径r，圆心O到直线BC的距离d所以，当dr，即abc时，在直线BC上存在点P，使APPD例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使ACB取得最大值。解析：经过A、B、C三点作M，设M的半径为R，由正弦定理，得由此可见，当R取得最小值时，ACB取得最大值而当点M与x轴的相切于点C时，R取得最小值根据切割线定理，得OC2OBOA，所以OC4故当点C的坐标为 (4，0)时，ACB取得最大值 例10 已知RtABC中，AC5，BC12，ACB90，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且CPQ90，求线段CQ的取值范围解析：以CQ为直径作O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，CPQ就为直角当O与AB相切时，直径CQ最小由切线长定理，得APAC5，所以BP1358再根据切割线定理，得BP2BQBC，所以 BQ，CQ当点Q与点B重合时，直径CQ最大，此时综上所述，CQ12 : B+ h 9 g E I# n$ j 7 s; ?7 C: 2 Z1 T五、四点共圆判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题例11 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FEDE解析：连接DB、DF因为CBF45，DBC45，所以DBF90又DEF90，所以D、E、B、F四点共圆，所以DFEDBE45，所以FEDE例12 如图等边PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边PQR怎样运动，点M为不动点解析：连接PM、AM、DM，因为M是QR的中点，所以PMQ90又PAQ90，所以A、Q、M、P四点共圆，所以MAPMQP60同理，MDP60所以MAD是等边三角形，即点M为不动点例13 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且OPB45，PAPB514，求PB的长解析：连接OA、OB因为OPBOAB45，所以A、B、O、P四点共圆，所以APBAOB90在RtAPB中，设PA5x，PB14x，根据勾股定理，得(5x)2(14x)21989，解得x3，所以PB42练习1.在直角坐标系中，过A（-1,0）和B（3,0）的M上有点P.（1）若cosAPB= (APB是锐角)，求M的半径；（2）在y轴上，是否存在一点D，使得ADB=45？若存在，求出点D的坐标.2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标.3. 已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0）B（4,0）、，抛物线过点A、B顶点为C，点P（m，n）n0为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当为钝角时，求的取值范围. 4. 如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t.（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；（2）若SBCD：SAOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且BMD最大，请求出点M的坐标.5.（2014山东淄博中考）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该平面直角坐标系内的一个动点（1）若点C平面直角坐标系内的一个点，且ABC是等边三角形，则点C的坐标是 ；（2）若点P在y轴上，且APB=30，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由6. （2014泉州中考）如图，直线y=x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和sinBAC的值；对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sinBMC=5