第三章-线性弹性课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,聚合物流变学基础,主讲人：孙立波,计划学时：,32,联系方式：新理工楼,7210,sunlibo0536,主要参考书目：顾国芳，浦鸿汀。,聚合物流变学基础,吴其晔，巫静安。,高分子材料流变学,烟台大学化学化工学院,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,虎克定律与弹性常数,按照经典弹性理论，在极限应力范围内，各向同性的理想,弹性固体的形变为瞬时间发生的可逆形变。形变量一般很小，,形变时无能量损耗，应力与应变呈线性关系，服从虎克弹性定,律。,=c,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,虎克定律与弹性常数,拉伸或者单轴压缩,在拉伸实验中，材料受拉应力,作用产生长度方向的应变,，,根据虎克定律：,=E,E,称为,杨氏模量,或者拉伸模量,=D,D,称为,拉伸柔量,，,为,E,的倒数,。,=/,称为,泊松比,，表征侧边变形。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,虎克定律与弹性常数,各向同性压缩,在各向同性压缩实验中，材料的应变为其体积的变化分数,V/V。,所加应力用压力,P,表示，则：,P,=-K,V/V,K,称为,体积模量,。,V/V,=,-BP,B,称为,体积柔量,，为,K,的倒数,。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,虎克定律与弹性常数,简单剪切实验,简单剪切实验中，材料发生切应变,：,=G,G,称为,剪切模量,。,=,J,J,称为,剪切柔量,，为,G,的倒数,。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线性弹性变形的特点,变形小,在线性弹性变形中，只涉及聚合物分子中化学键的拉伸、,键角的变化和键的旋转。其变形量很小，在变形时不涉及链,段的运动和整个分子链的迁移。,变形无时间依赖性,弹性变形是瞬时发生的，它不随时间而变化。,变形在外力移除后完全恢复,弹性变形能够完全恢复，在外力移除后，变形瞬时恢复，,无时间依赖性。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,应力与应变之间广义的线性关系,将,应力与应变之间的线性关系与材料常数联系在一起，得到,线弹性理论的基本方程：,t,xx,=2Ge,xx,+K-(2/3)G(e,xx,+e,yy,+e,zz,),t,yy,=2Ge,yy,+K-(2/3)G(e,xx,+e,yy,+e,zz,),t,zz,=2Ge,zz,+K-(2/3)G(e,xx,+e,yy,+e,zz,),t,xy,=Ge,xy,t,yz,=Ge,yz,t,xz,=Ge,xz,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,简单实验中应力与应变之间的线性关系,各向同性压缩,t,xx,=2G+K-(2/3)G3=3K,t,yy,=t,zz,=t,xx,=3K,t,xy,=t,xz,=t,yz,=0,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,简单实验中应力与应变之间的线性关系,简单剪切,t,xy,=t,yx,=G,t,xx,=t,yy,=t,zz,=0,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,简单实验中应力与应变之间的线性关系,简单拉伸实验,t,xx,=K+(4/3)G-2K-(2/3)G,t,yy,=t,zz,=K-(2/3)G-2K+(1/3)G,t,xy,=t,xz,=t,yz,=0,弹性常数之间的关系,E=9KG/(3K+G),=/=(3K-2G)/(6K+2G),烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,任何一个弹性常数都可以通过其它两个弹性常数表示出来，,四个弹性常数只有两个是独立的，表征一个材料的线弹性只需,要两个常数就够了。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,E，G，K，,四个弹性常数的数值有一定的限制,。,E，G，K，,必须大于零。可以证明以下不等式：,0 0.5,2 E/G 3,当,0 K；当0 K,当,1/3 1/2,时,，E K；,当,=0.5,时,，E=3G,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性常数之间的关系,弹性常数的量纲,应变没有量纲。因此，弹性常数的量纲与应力相同，即单位,面积上的力。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,某些金属及合金的弹性常数,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,某些材料的拉伸弹性模量,（10,5,1bf/in,2,）,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,弹性模量谱,聚合物与其它材料相比，很明显的特点就是它们的弹性模,量范围很宽，因此用途广泛。,玻璃态高聚物的弹性模量为,10,3,10,5,MPa,数量级，如：,酚醛塑料：,E=10,4,MPa,酚醛塑料：,E=1.4,10,5,MPa,聚氯乙烯（硬质）：,E=4.9,10,3,MPa,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,弹性模量谱,聚合物的弹性模量可相差34个数量级,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,聚合物弹性模量与温度的关系,无定型线型聚合物的拉伸模量与温度的关系,在温度低于T,g,时，聚合物处于玻璃态，其模量的数量级为10,3,MPa。在玻璃化转变区，模量从10,3,MPa降低到1MPa，变化了近1000倍。在T,g,和T,f,之间出现一个橡胶平台，数量级为10,0,MPa。平台随温度升高略有下降。在T,f,以上，模量急剧下降。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,聚合物弹性模量与温度的关系,交联聚合物（橡胶）的拉伸模量与温度的关系,与线型聚合物不同的是由于交联聚合物的交联结构，它不发生流动。温度超过其分解温度T,d,时，发生分解。在坪台区其拉伸模量为10,0,MPa数量级，并随温度升高略有增大。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,聚合物弹性模量与温度的关系,结晶性线型聚合物的拉伸模量与温度的关系,与无定型线型聚合物不同的是其坪台区较宽，且坪台区的模量较高，这是由于微晶的存在起到交联的作用。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,模量的分子依赖性,无定型线型聚合物的分子量越高，橡胶坪台区越宽，但坪台区的模量的数量级不因分子量的增大而变化，玻璃化温度也保持不变。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,交联度对拉伸模量的影响,随着交联度的上升，橡胶坪台的模量上升，交联度上升至网状结构时，E几乎保持不变，直到超过分解温度时发生分解。同时玻璃化温度也随交联度提高而上升，玻璃化转变区加宽。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的弹性模量,结晶度对拉伸模量的影响,橡胶坪台区升高，结晶起到交联作用，T,g,不受结晶度的影响。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性的适用范围,限定条件,在变形很小时，我们要谈到的材料才适用于线弹性模型。,非聚合物,陶瓷、金属、结晶体适用于线弹性模型。,聚合物,交联聚合物,由于分子的交联，它比其它种类的聚合物符合线弹性模型的条件范围要,宽，即使在温度比玻璃化温度T,g,高很多时仍符合线性弹性。但是在时间很,长时出现粘弹性，应变很大时出现非线性弹性。,低于玻璃化温度的玻璃态聚合物材料一般适用于线弹性模型。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性的适用范围,聚合物,线性或支链聚合物,在温度比T,g,高很多时，在各向同性压缩时符合线弹性，而在拉伸、,剪切等其它情况下，会出现线性粘性、粘弹性等。,另外几乎所有的聚合物在受到瞬间应力作用时都符合线弹性。瞬间的长,短取决于材料的种类和材料的环境。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,产生dl的变形外力f,所做的功：,dW,=-fdl,dl=l,0,d,f=A,dW,=-Al,0,d,=-V,0,d,外界对单位体积,材料,所做的功w：,dw,=dW/V,0,=-d,=-Ed,积分,t,xx,=-(1/V,0,)W/,w,=-(1/2)E,2,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,体系的自由能,：,Z,=H-TS=U+PV-TS,dZ,=dU+PdV+VdP-TdS-SdT,=dQ-TdS+PdV+VdP-SdT-dW,对于无限小的变化：,可逆过程的dQ=TdS,dZ,=,PdV+VdP-SdT-dW,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,dW=V,0,dw=-V,0,t,xx,d,dZ,=,PdV+VdP-SdT-dW,dW=PdV+dW,dZ,=,VdP-SdT-dW,dZ,=,VdP-SdT+V,0,t,xx,d,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,dZ,=,VdP-SdT+V,0,t,xx,d,(Z/P),T,=,V,(Z/T),P,=,-S,(Z/,),P,T,=,V,0,t,xx,t,xx,=(1/V,0,)(Z/,),P,T,=(1/V,0,),(U/),P,T,+P(V/),P,T,-T(S/),P,T,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,t,xx,=(1/V,0,)(Z/,),P,T,=(1/V,0,),(U/),P,T,+P(V/),P,T,-T(S/),P,T,t,U,xx,=(1/,V,0,)(U/),P,T,通常很小，可忽略,t,S,xx,=-(T/,V,0,)(S/),P,T,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,t,S,xx,=-(T/,V,0,)(S/),P,T,2,Z/T=-(S/),P,T,=V,0,(t,xx,/T),P,t,S,xx,=-(T/,V,0,)(S/),P,T,=T(t,xx,/T),P,通常很小，可忽略,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,线弹性变形的热力学分析,t,xx,=(1/V,0,)(Z/,),P,T,=(1/V,0,),(U/),P,T,+P(V/),P,T,-T(S/),P,T,t,xx,=(1/V,0,)(Z/,),P,T,=(1/V,0,)(U/),P,T,=t,U,xx,线性弹性变形产生的弹性力主要是由于内能的变化，也即由于键角的改变、键的拉伸和旋转而引起的内能的变化而产生，而不是由于熵变产生的，因此线弹性又称为能弹性。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,基本原则,在流变学中，虽然研究的是应力与应变的关系，但不是直接测定应力,与应变。只有力和位移是可以直接测量的，实验结果是利用应力与应变的,关系来确定材料的流变性能。因此，在设计和进行实验时，必须使实验尽,可能接近简单实验，以便实验结果能加以准确的分析，否则情况会变得很,复杂，使实验结果难以分析处理。,试样的形状必须与在理论推导中的一致,实验者必须了解材料的特性,实验方法和仪器的选择决定于研究目的,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,位移,在实验中测量的材料的变形实际上是位移，如角度的变化、距离的变,化、体积的变化等。,传感器,可以把位移转变成一种电信号，此电信号经放大后可以用各种电子仪,器测量并记录下来。,测微计和活动显微镜,可以用来精确测量距离，精度可以达到10,-3,10,-4,cm。,线性可变示差变换器,可以用来测量很微小的距离变化，由一个金属芯棒和中空线圈组成。,当芯棒的位置发生微小变化时，线圈的电信号输出随之发生变化，用电子,仪器可测量出距离的变化。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,位移,在实验中测量的材料的变形实际上是位移，如角度的变化、距离的变,化、体积的变化等。,光杠杆,光杠杆可以测量微小的角度变化。在连接试样的转子上安装一面小镜,子，从一个固定的光源将光线投射到镜子上，在离镜子一定距离的地点用,光电池等接收。这样即使试样发生很小的角度变化，在光电池上产生的位,移却相当大。因此，可以精确测定角度变化。,另外，角速度和线速度可以用一个装在转动部件上并置于磁铁两级间,的线圈中产生的电流来检测。在某些仪器中，试样用夹具夹住，夹具以恒,定速度分开，这时的位移可以简单的用速度和时间计算出来。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,力,在测量力的时候，最直接而又最准确的测量力的方法是用已知质量的,重物。已校正过的弹簧长度的变化，校正过的钢丝的扭曲角度是力的度量。,力的测量就变为位移的测量，前面讨论的方法也就可用来测量力的大小,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,单向拉伸测定拉伸模量,试样在拉伸时形状会发生改变，从而会造成与理论的偏差。但若试样,的长度比其直径大的多，由于两端形状不正规造成的误差可以大大减少，,而且试样的中间部分符合理想的单向拉伸情况。,拉伸仪,试验机械,试样用夹具固定，测定试样中间部分的变形。长度的变化被转换为转,动，转动的角度用光杠杆测量。,试样垂直地固定在夹具之间，其中一个夹具固定并与一个测力的传,感器连接，它产生一个正比于拉力的电信号，被记录在图纸上。另一端是,以恒定的速度把试样拉长，图纸也同时以恒定速度移动。这样，图纸移动,的距离是与夹具移动距离成正比的。这样就能得到应力应变图，从而求出,弹性模量。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,弯曲实验测定杨氏模量,弯曲实验比较复杂，不属于简单实验，但用来测定杨氏模量却比较简,单。测量要求：待测量试样长度比直径大的多。,可将试样呈悬臂状伸出，一端固定，另一端施加垂直的力，测定这一,端的垂直位移。或者将试样由两个支座水平的放置，在试样的中点施加垂,直的力，测定试样中点的位移。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,弯曲实验测定杨氏模量,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,扭转实验测定剪切模量,扭转是另一种剪切变形，剪切模量常用扭转实验测定。在扭转实验中，,试样通常是圆柱形的，试样置于上下两个平行板之间，一端固定，另一端,施加一个力矩使试样扭转一定的角度。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,弹性模量的测定,扭转实验测定剪切模量,=,r/z,G=(,2Lh)/(R,4,),烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的体积模量,在高于T,g,和T,m,时的体积模量,由表可以看出，体积模量K的数量级在10,3,Mpa。在表中的数据只能是在数量级上正确，因为模量还与温度、压力、分子量、制备方式等有关。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的体积模量,玻璃态无定型聚合物的体积模量,低于玻璃化温度时的K比高于T,g,时的K最多大两倍。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,聚合物的体积模量,结晶型聚合物的体积模量,结晶型聚合物的体积模量与无定型聚合物接近，数量级也是10,3,Mpa。,一般来说，结晶度愈高，K值愈大。,偏离线弹性情况,当压力很高时，会出现非线性弹性，甚至粘弹性，表现出时间依赖,性。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,多相系统,加入填料之后的聚合物是一个多相系统，聚合物为连续相，称为胶结,剂，分散在聚合物内的颗粒为不连续相，称为填料。这种多相系统也称为,复合材料。,在聚合物中加入填料之后可以改变聚合物的各种性能，如提高刚性、,减少蠕变、增加强度、减少收缩、提高耐热性等。本节将讨论加入填料后,对聚合物弹性模量的影响。,复合材料的弹性性能决定于填料的大小、形状，填料在聚合物中的分,布，以及聚合物本身的弹性性质。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,球形的弹性填料实验结果分析,由表可以看出，复合材料的体积模量与填料颗粒的大小无关，而随着填料浓度的增加而单调增加。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,球形的弹性填料实验结果分析,由表可以看出，复合材料的G和,与填料颗粒的大小也无关。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,球形的弹性填料理论分析,注：K,0,，G,0,，,0,和K,1,，G,1,分别为聚合物和填料的弹性常数，,0,和,1,为聚合物和填料在复合材料中的体积分数（,0,+,1,=1）。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,球形的弹性填料理论分析,如果聚合物是高弹态材料，则G,0,K,0,，,0,=0.5，同时，如果填料的,K,1,和K,0,有相同的数量级或者更大，则G,0,G,0,，,则有：,再进一步，如果,1,1，,则有：,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,球形的弹性填料理论分析,如果G,1,G,0,，,则有：,对于,较大的情况,，,Guth-Smallwood提出如下经验公式：,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,球形的弹性填料理论分析,另一个常用公式是Eilers-Van Dijck经验公式：,如果聚合物不能很好的粘附填料，模量的提高就不会如上述那么多。,Nielsen提出如下经验式：,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,多相系统加填料的聚合物,非球形颗粒填料,对于这种情况，理论变得很复杂，虽然已有几种理论，但还没有相当,的实验配合。一般的结论是，颗粒的不对称性愈大，由它引起的模量增大,愈多。,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,结晶聚合物,结晶聚合物的特点,结晶聚合物是由无定型区和结晶区构成的。结晶区又由无数很小的微,晶组成。这些微晶是由规整排列的分子构成。因此，结晶聚合物具有方向,性，是各向异性的。,各向异性,但整个结晶聚合物是由各种方向的微晶及无定型部分组成，所以是各,向同性的。,各向同性,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,结晶聚合物,聚合物微晶弹性模量的测定,应力的方向与,链的方向一致,形变是由于键的拉直产生,抗拉弹性模,量,(E,l,),较高,应力的方向与,链的方向垂直,形变是分子链之间距离拉长产生,抗拉弹性模,量,(E,2,),较低,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,结晶聚合物,聚合物微晶弹性模量的测定,聚合物微晶很小，无法直接测量E,1,和E,2,，但可以用间接的方法来测定。,如在高度定向的纤维上加上应力，从试样在加应力前后的X射线衍射图上,可以测得其晶格尺寸变化，从而计算出E,1,。,聚乙烯微晶的E,1,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,结晶聚合物,聚合物微晶弹性模量的测定,对于聚合物微晶，一般E,1,大约是3,10,5,MPa，E,2,在210,3,910,3,MPa范,围内，可以推测分子间力愈大，E,2,愈高。,聚乙烯微晶的E,2,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,结晶聚合物,结晶聚合物的弹性模量,一般说来，结晶聚合物的弹性模量E随结晶度的增大而升高。但对于,不同的聚合物，E对结晶度的依赖关系不同。如聚乙烯当结晶度增加到21%，,E增加了约100倍，而有的聚合物结晶度为21%时，E只升高了10倍。,与结晶度的关系,烟台大学化学化工学院,3,.,线性弹性,结晶聚合物,结晶聚合物的弹性模量,温度依赖性,聚乙烯的G，K，,的温度依赖性,由图可以看出，虽然温度上限远大于T,g,聚乙烯的G仅减少了10倍。与高度交联的无定型聚合物类似。,