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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,当代数学发展介绍,(1),第1页,一.十九世纪数学,概况,1.十七-十八世纪数学成就,十七世纪数学最大成就是牛顿(I.Newton,16421727)微积分思想诞生在英国.,十八世纪资本主义生产方式带来了法国大革命,数学中心也移到了法国,当初一代数学权威有:,拉格朗日(J.Lagrange,17361813);,拉普拉斯(P.M.Laplace,17491827);,勒让德(A.Legendre,17521833),蒙日(G.Monge,17461818),等等,第2页,拉格朗日(J.Lagrange,17361813);拉普拉斯(P.M.Laplace,17491827);,第3页,勒让德(A.Legendre,17521833,蒙日(G.Monge,17461818),第4页,2.十九世纪数学发展,十九世纪是法国与德国在数学上争雄时代,.,1794年诞生法国综合技术学校成为19世纪初世界数学中心,以当初两大数学家,傅里叶,(J.B.Fourier,17681830)、,柯西,（A.Cauchy,17891857)为首调和分析和分析学方向是其中代表,他们影响一直连续现在.,进入19世纪,德国格丁根大学崛起,数学王子,高斯,(C.F.Gauss,17771855)称雄世界,黎曼,(G.F.B.Riemann,18261866)为人类留下了无数数学珍宝.,第5页,十九世纪上半叶数学思想和结果,纯粹数学方面:,代数:,伽罗瓦,(Galois,1811-1832)-新动力,几何:,罗巴切夫斯基,(Lobatchevski,1792-1856),鲍耶,(Bolyai,1802-1860),高斯(Gauss,1777-1855)-非欧几何学,数论-解析数论,分析:严格化,复变函数理论,Cauchy,Weierstrass,Dedekind,Cantor,第6页,应用数学取得伟大成就,1846年英国,亚当斯,(J.C.Adams,1819-1892)和法国勒威耶(U.J.J.Le Verrier,1811-1877)分别独立 用数学方法计算出海王星轨道;,高斯,在大地测量中发觉了微分几何学;,傅里叶分析,推进了热力学和振动理论深入发展;,英国传统应用数学大放异彩,哈密顿,最小作用原理给了力学一崭新面貌;,麦克斯韦,(J.C.Maxwell,1831-1879)于1864年发表电磁学方程更是人类利用数学研究自然规律又一里程碑.,第7页,十九世纪后半叶数学结果十分丰富,进入十九世纪后期,德国国家实力陡增,高斯、黎曼等数学家工作也是世人瞩目标.德国在数学上提出了明确目标,要寻求世界领先地位.而执行这一使命是数学大师,克莱因(C.F.Klein,1849-1925).,第8页,克莱因-著名几何学家,:,1865年进入波恩大学,开始研究几何学.1869年 到格丁根大学工作,并周游欧洲诸国.,1872年任埃尔郎根大学正教授发表了新近几何学 研究比较考查演讲,用运动群下不变量对几何学进行分类,这就是著名 埃尔郎根纲领.这一几何学上划时代工作,在今后50年内一直处于几何研究中心 地位.,克莱因晚年关注应用数学和数学教育,开创了世界第一流数学家关心中小学数学教育改革先例,影响深远.,第9页,1886年春,克莱因就任格丁根大学教授,即使继续从事数学研究,但更多进行行政组织、数学教育、国际交流等方面活动，目标是把格丁根大学建成世界第一流数学中心.,十年左右努力终有成效.1895年初,大数学家希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)到格丁根大学任教,克莱因被授予枢密顾问官职务,格丁根大学学术地位陡然升高.1902年,闵科夫斯基(H.Minkowski,1864-1909)也来到格丁根大学.这三驾马车终于把格丁根大学建成20世纪早期世界数学中心.,克莱因是当然领袖.,第10页,十九世纪后期,除格丁根大学之外,柏林大学也是当然数学中心,狄利克雷,(G.P.L.Dirichlet,1805-1859)在此校工作了27年,为柏林大学赢得很高 数学声誉,1854年他去格丁根大学接替逝世高斯;柏林大学数学教授,库默尔,(E.E.Kummer,1801-1893)长久担任柏林大学校长,“理想数”工作成为当代代数数论先驱;,克罗内特,(L.K.Kronecker,1815-1891)在代数学、数论、椭圆函数论方面成就显著,并有非常广泛社会和学术关系,被称为德国数学无冕之王;,而对后世影响更大是,魏尔斯特拉斯,(Karl T.W.Weierstrass,1815-1897).,第11页,3.对近代数学影响德国三位数学家,魏尔斯特拉斯,(Karl T.W.Weierstrass,1815-1897).,出身于一个政府官员家庭,父亲送他到柏林大学攻读,法学博士学位,因为他不,喜欢,未到毕业就离开了,以后在一所神学哲学院读,数学,经过中学教师资格,国家考试后,曾任中学,(体育)教师达15年之久.,在这期间他发表了椭圆函数,论主要文章,被破格授予,哥尼斯堡大学声誉博士学位.,第12页,魏尔斯特拉斯1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授,1857年任柏林大学副教授,1864年升任正教授,1873年出任柏林大学校长,成为左右德国数学界一位领袖人物.,他取得这些荣誉主要是他学术 格调,他是19世纪末分析严格化进程代表,反应了那个时代和20世纪整个数学严谨性时尚.,魏尔斯特拉斯首先给出严密实数理论,第一个明确地使用,-,语言,引进 有界集、无界集、集内点、外点、极限点、连通性等概念，尤其是利用一致收敛概念得出 极限交换定理.,魏尔斯特拉斯终生未娶,他两个妹妹也未出嫁,她们一起照料魏尔斯特拉斯 生活,共度人生.,第13页,戴德金,(J.W.R.Dedekind,1831-1916),以有理数连续性“分割”定义实数,对实数连续性给出了严密而直观叙述,为数学分析严密化作出了主要贡献;同时他也奠定了 代数数论系统理论.,戴德金也是终生未娶.,第14页,康托(Cantor,1845-1918),集合论创始人,集合势创始人,Hilbert,称赞康托尔超越数理论是“数学精神最令人惊羡花朵,人类智力活动最精美结果.”,“没有些人能把我们从康托所创造天国中赶走!”,第15页,康托尔（G.Cantor,18451918）,德国数学家.1845年生于俄国圣彼得堡，卒于哈雷，是丹麦犹太商人之子.集合论创始人，受教于数学家库默尔、外尔斯特拉斯和克罗内克等人.1867年获博士学位.,康托尔集合论富有革命性，其理论极难被马上接收，以致遭受一些数学家反对，但他理论无疑是对十九世纪末、二十世纪初数学基础研究产生了深远影响，集合论已渗透到各数学分支,甚至渗透中小学数学书本,成为分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可缺之理论.,第16页,康托尔集合论思索与研究是从他三角级数研究 中产生.1871年给出了集合定义，定义了集合 交与并等.他在1872年利用有理数基本序列概 念定义了无理数，把实数理论严格起来，并建立了点集 论.1874年康托尔发表第一篇关于无穷集合文章，对超越数存在且远远多于代数数作出了集合论证实，轰动当初世界数学界.1878年引进了无穷集 势和提出连续性问题.1883年给出了超限基 数定义等.,第17页,康托尔集合论富有革命性，其理论极难被马上接收以致遭受一些数学家反对，比如大数学权威克罗内克对“小人物”康托尔批判,阻止康托尔到柏林工作,散布对超越数怀疑,对康托尔是毁灭性打击.,1884年康托尔患上忧郁症,经常发病,到1899年,集合论悖论在他头脑里萦绕,旧病再次复发,住进医院,以后一二十年中他断断续续在哈雷大学精神病院中度过.1918年在那里逝世.,第18页,4.其它国家数学研究,在德国学派影响之下,挪威数学家,索芙特,李,(M.S.Lie,1842-1899)创建了李群和李代数理论.20世纪几乎全部数学学科都和李群产生联络.,英国数学一向偏重于应用,19世纪依然保持这一传统.但在十九世纪下半叶,出现两颗纯粹数学新星:,西尔维斯特,(J.J.Sylvester,1814-1897)和,凯莱,(A.Cayley,1821-1895),他们共同发展了代数不变理论,尤其是线性代数中行列式和矩阵理论.这些工作在20世纪变得十分主要和普及.,第19页,俄国十九世纪开始有了自己数学研究,罗巴切夫斯基工作引发国际瞩目,切比雪夫,(P.L.Chebyshev,1821-1894)在概率论研究也得到世人关注.但与欧洲各国相比仍有差距.,当初亚洲国家印度、日本和中国,十九世纪数学水平落后西方约有200年.,19世纪下半叶能和德国数学相抗衡只有以庞加莱为代表法国数学.,第20页,二.法国数学领袖-庞加莱,庞加莱,(J.H.Poincare,1854-1912),法国数学家,物理学家,天文学家,数学方面:非欧几何,不变理论,分析力学,概率论,第21页,十九世纪前期法国,柯西是无可争辩领袖.1857年柯西逝世之后,世界数学中心渐渐向德国转移,当然这也与社会经济相关.,在世纪之交世界数学是法德争雄格局,法国数学有着许多骄人结果,其代表人物有:,埃尔米特,(C.Hermite,1822-1901):毕业于巴黎综合工科学校,1862年进入该校任讲师,1867年升任教授,分析学家.早年工作包括椭圆函数论,著名工作是证实,e,超越性.,对以后影响最大是他复二次型工作,在物理学、几何学、算子理论中,埃尔米特已成为,复共轭、复对称代名词,.,第22页,若尔当,(C.Jordan,1838-1922):也是巴黎综合工科学校学生,一直以工程师身份研究数学,同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教.1881年年成为法兰西科学院院士.他在伽罗瓦群论等方面作了系统研究,在群和群表示理论上开创性工作是以后代数发展 起点.,今天约当名字更多和分析学中约当曲线、矩阵中约当标准型、积分论中约当容量联络在一起.,达布,(J.G.Darboux,1842-1917):毕业于巴黎高等师范学院,并在该校工作,他主要研究领域是微分几何.他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线和曲面变形等基本问题.一样达布影响不限几何,他在积分论中研究黎曼可积充分必要条件时给出现在称为达布上和下和上积分下积分等概念已经成为经典理论.,第23页,19世纪末期法国更着重于经典问题刻画,注意几何、分析上严密化,处理 一些悬而未决问题.,而德国学派更注意新方向和新思想开拓,这么法国数学发展似乎过分拘谨了.,然而庞加莱出现,使法国数学出现了新转机.,第24页,1854年4月29日，法国数学家亨利庞加莱生于南锡.1912年7月17日卒于巴黎.,庞加莱父母亲都出身于法国显赫世家，几代人都居住在法国东部洛林.,庞加莱从小就显出超常智力，他智力主要起源之一是遗传.他双亲智力都很高，他双亲又可追溯到他祖父.他祖父曾在拿破仑政权下圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂庞加莱即为庞加莱父亲.,庞加莱父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授.他母亲是一位善良、才华出众、很有教养女性，一生心血全部倾注到教育和照料孩子身上.,叔父是国家官员,庞加莱叔叔两个儿子是法国政界著名人物：雷蒙,庞加莱是曾出任总理兼外交部长,1913-1920年任法国第九任总统;吕西庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作.,第25页,庞加莱童年生活很不幸,5岁患白喉,运动神经功效不协调,加上视力不好,上课全凭耳朵听.不过这种训练使得他以后能在头脑中完成数学计算和撰写论文.,他15岁进入巴黎综合工科学校,原打算做 一名工程师,但一有空就研究数学.,1878年,他向法兰西学院提交相关微分方程普通解论文,第二年8月1日即取得数学博士学位.1880年他成为巴黎大学教授,讲授力学和试验物理课程.,庞加莱写作时期开始于1878年，直至他1912年逝世这正是他创造力极盛时期.,第26页,他是一位博学家，在数学、数学物理、天体力学和哲学方面都有很深造诣.他一生主要研究成就是方法论，他是第一个发觉混沌确定系统人，并为当代混沌理论打下了基础.,在狭义相对论方面他论文1905年6月发表“论电子动力学”摘要比爱因斯坦论文早了一个多月.,在不长34年科学生涯中，他发表了快要500篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学许多分支，这还没有把他科学哲学经典名著和科普作品计算在内.,主要著作有科学与假设、科学价值 、科学方法等.,第27页,1904年，亨利庞加莱提出了这么一个猜测：在一个封闭三维空间，假如每条封闭曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球.庞加莱仅仅两行字，成为数学界100多年未能证实难题.关于,庞加莱猜测,证实是年基本完成,.,美国科学杂志年12月21日公布了该刊评选出年度十大科学进展，其中科学家证实庞加莱猜测被列为头号科学进展.,第28页,由庞加莱开创新领域有:,1.自守函数论,:,自守函数是通常三角函数、椭圆函数推广.它引入使得微分方程、代数几何、代数数论找到了新立足点.假如说18世纪是微分学世纪，那么19世纪则是函数论世纪.庞加莱是因创造自守函数而使函数论世纪大放异彩，他本人也所以在数学界崭露头角.,2.整函数“亏理论”,:,他第一个研究整函数“亏数”和函数增加关系,为整函数和亚纯函数理 论研究打开了道路.,第29页,3.有理数域上代数几何学,:,1901年一篇论文开创了代数方程有理数解研究,成为代数数论一项开创性工作.,4.微分方程定性理论,:,这门崭新学科研究微分方程解在奇点附近状态,来判断解稳定性.,5.动力系统理论,:,开创动力系统理论研究,完成了现在称为“庞加莱回归定理”工作.动力系统理论研究是现在数学理论和应用研究活跃方向.庞加莱在这个领域中最出色贡献是微分方程定性理论它是在其创造者手中马上臻于完善.,第30页,6.三体问题,:,在三体中两个物体质量比另一个小多情况下,得到了三体问题周期解.引进渐近展开方法,得出了严格天体力学计算方法.,7.组合拓扑学,:,即“位置分析”.在20世纪取得长足发展代数拓扑学完全是按照庞加莱思想展开.庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形组合理论，人们公认他是代数拓扑学奠基人.能够毫不夸大地说，庞加莱在这个课题上贡献比在其它任何数学分支上贡献都更为使他永垂不朽.,8.对狭义相对论创建做出了贡献.,第31页,另外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(比如，他最先使用了“遍历性”概念，这成为统计力学基础)等数学分支中也有所建树.,庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面工作请见世界著名科学家传记物理学家.,除了这些开拓新领域工作以外,庞加莱还有许多原创性结果,对多复变函数、Lie群、Lie代数、Dirichlet问题、Laplace算子特征值问题等研究都相关键性推进工作.,第32页,1911年，庞加莱以为身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上日子不会很长了.可是，他不愿放下手头工作去休息，他头脑蕴育新思想太多了，他不愿让它们和自己一起埋葬.,在索尔维会议之后，他投身于量子论研究，并撰写论文，发表讲演.,同时，他还在思索一个新数学定理，即把狭义三体问题周期解存在问题归结为平面连续变换在一些条件下不动点存在问题.,第33页,临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最终一次公开讲演.,他说：“人生就是连续斗争”，“假如我们偶然享受到相正确宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争结果.假使我们精力、我们警觉松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们赢得斗争结果.”,庞加莱本人一生就是连续斗争、永远进击一生.,1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁!当初他正处于科学创造高峰时期.,沃尔泰拉(V.Volterra)中肯地评论道：“我们确信，庞加莱一生中没有片刻休息.他永远是一位朝气蓬勃、健全战士，直至他逝世.”,第34页,庞加莱是约定主义代表人物,认为科学公理是为了人们表示方便而共同约定,约定能够选择,但要有试验事实为依据,防止出现矛盾.在数学基础上持直觉主义观点,反对罗素逻辑主义、希尔伯特形式主义，不认可实无限,只认可潜无限.,庞加莱主要是一个数学家,但或许在物理学和哲学上工作更为普通人所知.关于他哲学思想,列宁曾说他是“一位伟大物理学家，渺小哲学家”.,第35页,作为直觉主义者庞加莱,在发表论著时可能没有到达当初一些数学家所要求严密性.,不过历史证实庞加莱做是正确.假如为了追求不十分必要严密性,而把主要拓扑学思想丢弃将对数学进展 是多大损失!,因为他出色贡献，他赢得了法国政府所能给予一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府奖赏.,第36页,因为他出色贡献，他赢得了法国政府所能给予一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府奖赏.,早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到最高荣誉.,庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初领袖数学家，是对于数学和它应用含有全方面知识最终一个人.,第37页,三.新世纪序幕,-Hilbert23个问题,进入1900年,人们都把目光放到未来.这年8月6日第二届国际数学家代表大会在巴黎.年方38岁德国著名数学家大卫,希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)于1900年8月8日在 大会作了题为数学问题希尔伯特著名演说.,演讲是这么开始:,第38页,“我们当中有谁不想揭开末来帷幕,看一看今后世纪里我们这门科学发展前景和奥秘呢?我们下一代主要数学思潮将追求什么样特殊目标？在辽阔而丰富数学思想领域，新世纪将会带来什么样新方法和新结果？”,第39页,希尔伯特在讲演序言和结束语中,对各类数学问题意义、源泉及研究方法发表了许多精辟看法.,他依据19世纪数学研究结果和发展趋势而提出了数学研究和发展23个问题,这些问题包括当代数学许多主要领域.,一个世纪以来,这些问题一直激发着数学家们浓厚研究兴趣.,第40页,Hilbert问题中近二分之一巳经处理或基本处理.,大数学家,韦尔,(Weyl)在Hilbert逝世时悼词中曾说,:“Hilbert就象穿杂色衣服风笛手,他那甜蜜笛声诱惑了如此众多老鼠,跟着他跳进了数学深河.”,中国数学家在第8和第16问题上作出了贡献.,从1936年至1974年,被誉为数学诺贝尔(Nobel)奖菲尔兹国际数学奖20名获奖人中,最少有12人工作与希尔伯特问题相关.,1976年美国数学会评审1940年以来十大数学成就就有三项是希尔伯特问题(1)、(5)、(10)等三个问题处理.,第41页,希尔伯特,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近韦劳，中课时代他就是一名勤奋好学学生,对于科学尤其是数学表现出浓厚兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课内容.,他与17岁便拿下数学大奖著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦老师）结为挚友，同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他.,1880年,他不顾父亲让他学法律意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学,并于,1884,年取得博士学位,后留校取得讲师资格和升任副教授.,1893,年他被任命为正教授,1895,年转入格廷根大学任教授,今后一直在数学之乡格廷根生活和工作.他于,1930,年退休.,在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾取得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖.,1930,年取得瑞典科学院米塔格-莱福勒奖,1942,年成为柏林科学院荣誉院士.,第42页,希尔伯特是一位正直科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行坑骗宣传而发表告文明世界书上签字.战争期间，他勇于公开发表文章悼念“敌人数学家”达布.希特勒上台后,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家政策.因为纳粹政府反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国，其中多数流亡与美国,曾经盛极一时格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世.,希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响数学家之一.他领导了著名格廷根学派,使格廷根大学成为当初世界数学研究主要中心,并培养了一批对当代数学发展做出重大贡献出色数学家.,希尔伯特领导数学学派是19世纪末20世纪初数学界一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界无冕之王”.,第43页,希尔伯特23个数学问题及处理简况以下,希尔伯特23个问题分属四大块：,第1到第6问题是数学基础问题；,第7到第12问题是数论问题；,第13到第18问题属于代数和几何问题；,第19到第23问题属于数学分析.,详细内容介绍以下,第44页,1.康托尔(G.Cantor)连续统基数问题,1874年,康托尔,(G.Cantor,18451918)猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别基数,即著名连续统假设.1938年奥地利数学家,哥德尔,(K.Godel,19061978)证实连续统假设和ZF集合公理系统无矛盾性.1963年美国数学家,科恩,(P.J.Cohen,1934 )证实连续统假设和ZF集合公理系统是彼此独立.所以连续统假设不能用世所公认ZF公理证实其对错.此问题在这一意义上已经处理.,第45页,2.算术公理相容性(无矛盾性),欧氏几何无矛盾性可归结为算术公理无矛盾性,希尔伯特,曾提出用形式主义计划证实论方法加以证实.,哥德尔,在1931年发表不完备性定理加以否定.1936年,根岑,(G.K.E.Gentzen,19091945)在使用超限归纳法条件证实了算术公理无矛盾性.,第46页,3.两等底等高四面体体积相等问题,问题意义是:存在两个等高等底四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等.1900年德国数学家,德恩,(M.W.Dehn,1878 1952)证实确实存在这么两个四面体.,第47页,4.两点间以直线为距离最短线,问题提过于普通.1973年,苏联数学家,波戈列洛夫,(A.V.Pogolelov,1919 )在对称距离情况下给出一个处理此限制条件.于是波戈列洛夫宣告在对称距离情况下此问题得以处理.,第48页,5.一个连续变换群李氏概念并不要定义这个群函数可微性假设,此问题简称连续群解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是Lie群?,处理情况:,紧群情形:1933年,冯诺依曼,(J.von Neumann,19031957),交换群情形:1939年,庞特里亚金,(L.S.Pontryagin,19081988),可解群情形:1941年,谢瓦莱,(C.Chevalley,19091984),最终处理:1952年,格力森,(A.M.Gleason,1921 )、,蒙哥马利,(D.Montgomery,19091992)和,齐平,(L.Zippin,1905 )共同处理,得到了完全必定结果.,第49页,6.物理学公理化,希尔伯特,提议用数学公理化方法推演出全部物理,即物理公理数学处理.首先在概率论和力学上取成功.1933年,苏联数学家,柯尔莫哥洛夫,将概率论公理化.以后在量子力学和量子场论取得很大成功.,不过物理学是否能全盘公理化,很多人表示怀疑.,第50页,7.一些数超越性,问题要求证实:假如,是代数数,是无理数代数数,那末 一定是超越数或最少是无理数.(如 或 ),1934年,苏联数学家,盖尔丰德,(A.O.Gelfond,19061968)证实了此结果.,1935年,德国数学家,施耐德,(T.Schneider,1911)也独立处理此问题.,第51页,8.素数问题(包含歌德巴赫猜测),素数是一个古老问题,希尔伯特在此提到,黎曼,(Riemann)猜测、,哥德巴赫,(Goldbach)猜测以及孪生素数问题.,黎曼猜测至今未能处理.,哥德巴赫猜测也未最终处理,中国数学家,陈景润,(19331996)取得领先地位,当前孪生素数最正确结果也属于陈景润.,第52页,哥德巴赫,（Goldbach C.，1690.3.18-1764.11.20）德国数学家.出生于格奥尼格斯别尔格(现名加里宁城),曾在英国牛津大学学习,原学法学，因为在欧洲各国访问期间认识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师.1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职.,1742年，他在给挚友欧拉一封信里陈说了他著名猜测哥德巴赫猜测.,第53页,哥德巴赫猜测（Goldbach Conjecture）,大致能够分为两个猜测(前者称“强”或“二重哥德巴赫猜测,后者称“弱”或“三重哥德巴赫猜测”)：,1.每个大于6偶数都能够表示为两个奇素数之和；,2.每个大于9奇数都能够表示为三个奇素数之和.,第54页,当前最正确结果是中国数学家,陈景润于1966年证实,，称为陈氏定理：“任何充分大偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数乘积.”通常都简称这个结果为（1+2）.,在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数乘积 与t个质数乘积之和(简称“s+t”问题)之进展情况以下:,1920年，挪威布爵证实了“9+9”.,1924年，德国拉特马赫证实了“7+7”.,1932年，英国埃斯特曼证实了“6+6”.,1937年，意大利蕾西先后证实了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”.,第55页,1938年，苏联布赫夕太勃证实了“5+5”.,1940年，苏联布赫夕太勃证实了“4+4”.,1948年，匈牙利瑞尼证实了“1+c”，其中c是一很大自然数.,1956年，中国王元证实了“3+4”.,1957年，中国王元先后证实了“3+3”和“2+3”.,1962年，中国潘承洞和苏联巴尔巴恩证实了“1+5”，中国王元证实了“1+4”.,1965年，苏联布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利朋比利证实了“1+3”.,1966年，中国陈景润证实了“1+2”.,第56页,华罗庚,是中国最早从事哥德巴赫猜测数学家.19361938年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜测，取得了很好结果，证实了对于“几乎全部”偶数猜测（1）都是正确.,1950年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜测作为讨论主题，倡议并指导他一些学生研究这一问题.他曾对学生们说：“我并不是要你们在这个问题上作出结果来.我着眼点是哥德巴赫猜测跟解析数论中全部主要方法都有联络，以哥德巴赫猜测为主题来学习，将能够学会解析数论中全部主要方法哥德巴赫猜测真是美极了，现在还没有一个方法能够处理它.”参加这个数论讨论班学生有,王元,、,潘承洞,和,陈景润,等.,第57页,出乎华罗庚意料，学生们在哥德巴赫猜测证实上取得了相当好成绩.1956年，王元证实了“34”；同年，原苏联数学家阿维诺格拉朵夫证实了“33”；1957年，王元又证实了“23”；潘承洞于1962年证实了“15”；1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证实了“14”；1966年，陈景润在对筛法作了新主要改进后，证实了“12”.,1974年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著筛法一书出版，书中以“陈氏定理”作为最终一章标题.书中写道：“我们本章目标是为了证实陈景润下面惊人定理，我们在前10章已经付印时才注意到这一结果.从筛法任何方面来说，它都是光芒顶点.”华罗庚曾对王元说：,“在我学生工作中，最使我感动是12.”,第58页,第59页,华罗庚,（1910.11.12-1985.6.12.），世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、经典群、自安函数论等多方面研究创始人和开拓者.国际上以华氏命名数学科研结果就有“华氏定理”、“怀依华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔加当华定理”、“华氏算子”、“华王方法”等.,王元,（1930-），著名数学家，华罗庚数学奖得主.他是中国科学院数学研究所研究员.曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、中国数学会理事长、数学学报主编，联邦德国分析杂志编辑，新加坡世界科学出版社顾问等.1980年当选为中国科学院院士(当初称学部委员).,潘承洞,(1934-1997.12.27)，数学家、数学教育家.在解析数论研究方面有突出贡献.主要成就包括算术数列中最小素数、哥德巴赫猜测研究，以及小区间上素变数三角和预计等领域.1984年被评为中国首批有突出贡献中青年科学家，1991年当选为中国科学院院士.,陈景润,（1933.5.22-1996.3.19），汉族，福建福州人.中国著名数学家，厦门大学数学系毕业.1966年发表表示偶数为一个素数及一个不超出两个素数乘积之和（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜测研究上里程碑.而他所发表结果也被称之为陈氏定理.这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同取得中国自然科学奖一等奖.1999年，中国发表纪念陈景润邮票.紫金山天文台将一颗行星命名为“陈景润星”，以此纪念.另有相关影视作品以陈景润为名.年9月14日，他被评为100位新中国成立以来感动中国人物之一.,第60页,9.在任意数域中证实最普通互反律,该问题已由德国数学家,阿廷,(E.Artin,18981962)在1927年基本处理,但至今仍在继续发展类域理论,.,第61页,10.丢番图方程可解性判定,求出一个整数系数方程整数根,称为丢番图(Diophantus,古希腊数学家)方程可解.,1959年,美国数学家,戴维斯,(M.D.Davis,1928 )、,普特南,(H.Putnam,1924 )和,鲁宾孙,(J.B.Robinson,19191985)等取得关键性突破.,1970年,苏联数学家,马蒂塞维奇,(J.V.Matijasevich,?)最终证实答案是否定.,尽管结果否定,却产生一系列很有价值副产品,其中不少,与计算机科学有亲密关系.,第62页,11.任意代数数域二次型,德国数学家,哈塞,(H.Hasse,18981979)和,西格尔,(C.L.Siegel,18961981)在上世纪20年代取得主要结果.,法国数学家韦伊(A.Weil,19061998)在上世纪60年代取得新进展.,12.将Abel域上克罗内克推广到任意代数有理域上去,这个问题影响很广,影响到类域论、群上同调方法、L级数以及将二次互反律推广到非交换情形“郎兰兹（Langlands)计划”.,很多数学家正为此奋斗,.,第63页,13.用两变量函数解普通七次方程 不可能性,七次方程,x,7,+,ax,3,+,bx,2,+,cx,+1=0根依赖于3个参数,a,b,c,x,=,x,(,a,b,c,).这一函数能否用两变量函数表示出来?,这一问题已靠近处理.,1957,年苏联数学家,阿洛尔德,(V.I.Arnold,1937 )处理了连续函数情形.,1964,年,维图什金,(A.G.Vituskin,1931 )又推广到连续可微情形.假如要求是解析函数,则问题还未处理.,第64页,14.一些完备函数系有限性证实,这个和代数不变量问题相关.日本数学家,永田雅宜,(Masayosi Nagata,1927 )1959年给出了漂亮反例.,15.Schubert计数演算严格基础,一个经典问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?,舒伯特,(H.Schubert,18481911)给出了一个直观解法.希尔伯特要求将问题普通化,并给以严格基础.现在已经有一些能够计算方法,它与代数几何学有亲密关系.,第65页,16.代数曲线和代数曲面拓扑问题,这个问题分成两部分:,前半部分包括代数曲线含有闭分枝曲线最大数目.,后半部分要求讨论,dy,/,dx,=,Y,/,X,极限环最大个数和相对位置,其中,X,Y,是,x,y,n,次多项式.,苏联数学家,彼得罗夫斯基院士,(I.G.Petrovsky,19011973)证实,n,=2时极限环个数不超出3.,1979年中国史松龄和王明淑分别举出了有4个极限环反例.,第66页,17.正定形式平方表示,一个实系数,n,元多项式对一切数组(,x,1,x,2,x,n,)都是非负,则这个多项式是否能写成平方和形式?,1927,年,E.,阿廷,证实这是正确.,18.由全等多面体结构空间,德国数学家,比伯巴赫,(L.Bieberbach,1886 1982)和,莱因哈特,(Reinhardt)分别于1910年,和1928年作出了部分处理.,第67页,19.正则变分问题解是否一定解析,伯恩斯坦(S.N.Bernstein,18801968)和,彼得罗夫斯基,院士等得出了一些结果,靠近处理.,20.普通边值问题,这一问题进展十分快速,已成为一个很大数学分支,结果丰富.当前还在继续研究.,21.含有给定单值群微分方程存在性,已由,希尔伯特,本人(,1905,年)和,勒尔,(H.Rohrl,1927 )、,德利涅,(P.R.Delgne,1944 )(,1970,年)等人所处理.,第68页,22.解析关系单值化,它包括艰难深奥黎曼(Riemann)曲面论,1907年,克贝,(P.Koebe,18821945)在单变量情形取得主要突破,复变量情形至今还未处理.,23.变分法深入发展,这不是一个明确数学问题,希尔伯特当初只谈了对变分法普通看法.而二十世纪变分法是数学一个主要分支,而且有了长足发展.,第69页,希尔伯特问题处理与研究大大推进了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支发展，同时也促进了当代计算机理论成长.,希尔伯特问题未能包含拓扑学、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中数学问题,除数学物理外极少包括应用数学等等.当然20世纪数学发展也远远超出了希尔伯特所预示范围.,第70页,主要问题从来是推进科学前进杠杆,但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题,并如此持久地影响一门科学发展,这在科学史上也是不多见.,第71页,四.世纪初数学哲学大论战,-,逻辑主义,直觉主义,形式主义,1.数学与哲学,自古以来，数学与哲学联络是非常亲密.人们在不停发展、利用数学同时，提出了许多问题.数学大厦基础是否巩固？它结构是否有内在缺点？数学是否能够无条件信赖？这些都是和数学相关哲学问题.另首先，许多哲学观点形成或展开，和数学又有不解之缘.数学作为一门抽象科学，对于普通世界观和方法论有重大影响.因而，和数学相关一系列哲学问题，值得关心数学人们深思.,第72页,2.当代数学基础哲学挑战,19世纪末到20世纪初，数学发展进入了一个激烈变革时期.在历史上，人们屡次统一数学企图均未成功.牛顿(I.Newton,1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)创建了微积分,把无限小带进了数学.牛顿在微分学中把增量,dx,看作无穷小,时而引进来,时而忽略不计,真可谓“挥之即去，呼之即来！”,于是贝克莱大主教称,dx,是“逝去量鬼魂”；,马克思评论略去高阶无穷小,dx,2,是“暴力镇压！”,唯心主义者攻击和革命导师批评都说明微积分确实“不严格”.,19世纪70年代，德国数学家康托尔创建无穷集合论，为统一数学尝试提供了新基础.,第73页,19世纪即将结束之际，数学分析基础注入严密性和准确性因集合论应用而得以成功.柯西建立了 严格极限理论,引进了“,-”,定义.戴德金、康托尔等又将实数理论严格化,分析学有了可靠基础和完整体系.数学概念建立也因集合论应用终于统一起来.整个数学展现出空前繁荣景象.,1900年庞加莱第二届国际数学家大会上宣告:,“现在我们能够说,完全严格性已经到达了.”,不过，这位数学权威话音刚落，就暴发了极为深刻、震撼整个数学大厦第三次数学危机，从而造成了一场由许多数学家卷入关于数学基础哲学论战.,然而,1902年(英)罗素(Russel,1872-1970)却以
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