2025-2026学年吉林省吉林油田实验中学高三数学第一学期期末综合测试试题.doc

2025-2026学年吉林省吉林油田实验中学高三数学第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）

A．2，0 B．2， C．2， D．2，
2．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C． D．
3．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.

A． B． C． D．
4．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题使得，则都有；
（2）已知，则
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；
（4）“”是“”的充分不必要条件.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )

A．平方尺 B．平方尺
C．平方尺 D．平方尺
6．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
7．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则的最小值为( )
A． B． C． D．
11．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.
14．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.
15．如果复数满足，那么______（为虚数单位）.
16．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）当时，若恒成立，求的最大值；
（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.
18．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.
21．（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形．
（1）求点，的极坐标；
（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】
由函数图象可知：
，

函数的图象过点
，
，则
故选
本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
2．A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
3．B
【解析】

如图，已知，， 
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
4．C
【解析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；
（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以 是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；
（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5．A
【解析】
根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.
【详解】
由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积，
故选：A．

本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.
6．C
【解析】
先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．
【详解】
解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，
B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}，
故选：C．
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
7．A
【解析】
函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．
【详解】
由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，
即，所以或．
因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．
故选：A．
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
8．A
【解析】
设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点坐标为，
设，
因为，即线段的中点，所以，
所以直线的斜率，
当且仅当，即时等号成立，
所以直线的斜率的最大值为1.
故选：A.
本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
9．C
【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.
【详解】
，
所以，即.
故选:C.
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.
10．C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于

，
故其最小值为：.
故选：C.
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
11．B
【解析】
根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】
因为双曲线的焦距为，
故可得，解得，不妨取；
又焦点，其中一条渐近线为，
由点到直线的距离公式即可求的.
故选：B.
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.
12．B
【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可．
【详解】
解：全集，集合，，

则，
故选：．
本题考查集合的基本运算，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0
【解析】
求出，求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出的值，求，求出单调区间，进而求出极小值最小值，即可求解.
【详解】
，，，
切线的方程：，
又过原点，所以，，
，.
当时，；当时，.
故函数的最小值，所以.
故答案为:0.
本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题..
14．
【解析】
根据渐近线得到，，计算得到离心率.
【详解】
，一条渐近线方程为：，故，，.
故答案为：.
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.
15．
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.
【详解】
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.
16．－3
【解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式的展开式中的常数项为，
∴解得.
故答案为：
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.
（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，可得，
令，则只需，
当时，；
当时，；
当时，；
故当时，取得最小值，即的最大值为.
（2）依题意，当时，不等式恒成立，
即在上恒成立，
所以，即，即，
解得在上恒成立，
则，所以，
所示实数的取值范围是.
本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
18．（1）；（2），理由见解析.
【解析】
（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设点的坐标为，求出直线的方程，求出点的坐标，由此计算出直线和的斜率，可计算出的值，进而可求得的值，即可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知，椭圆的上焦点为、，
由椭圆的定义可得，可得，，
因此，所求椭圆的方程为；
（2）设点的坐标为，则，得，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，，，
因此，.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）见解析（2）
【解析】
（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.
（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，
且，故且.所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，所以，平面.
（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，
所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，，从而，
所以直线与平面所成的角为.
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
20．（1），;（2），，.
【解析】
(1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.
【详解】
解：（1）由消去参数得，
即曲线的普通方程为，
又由得
即为，即曲线的平面直角坐标方程为
（2）∵圆心到曲线：的距离，
如图所示，所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．

∵，则，直线的倾斜角为，
即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，
所以三个点的极坐标为，，.
本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
21．（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】
（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（1），； （2）.
【解析】
（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；
（2）设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．将此代入曲线的方程，可得点在以为圆心，为半径的圆上，所以的最大值为，即得解.
【详解】
（1）因为点在曲线上，为正三角形，
所以点在曲线上．
又因为点在曲线上，
所以点的极坐标是，
从而，点的极坐标是．
（2）由（1）可知，点的直角坐标为，B的直角坐标为
设点的直角坐标为，则点的直角坐标为．
将此代入曲线的方程，有
即点在以为圆心，为半径的圆上．
，
所以的最大值为．
本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.