高中数学函数求参数范围2018年高三专题复习-函数专题.doc

高中数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习
2018年高三专题复习-函数专题（4）
一、变换“主元”思想，适用于一次函数型
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，
∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．
例2．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
答案：。
例3．若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。
答案：
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例1．若对于任意角总有成立，求的范围．（注意分式求最值得方法）
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，
又，则原不等式等价变形为恒成立．即必须小于的最小值，问题化归为求的最小值．因为 即时，有最小值为0，故．
例2．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。
解： 将问题转化为对恒成立。
令，则
由可知在上为减函数，故
∴即的取值范围为。
例3．已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。
解：x∈［0，1］时，，即
①当x=0时，a∈R
②当x∈时，问题转化为恒成，由恒成立，即求的最大值。设。因为减函数，所以当x=1时，，可得。
由恒成立，即求的最小值。设。因为增函数，所以当x=1时，，可得a≤0。
由①②知。
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k) ②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k) ④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)
三、数形结合
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。
例1．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．
分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．
例2．当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。
x
y
o
1
2
y1=(x-1)2
y2=logax
解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), <恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需
故loga2>1,a>1,1<a2.
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
例1．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴ 解得
（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴ 解得．∴a的取值范围是．
五、二次函数类型
㈠ R上恒成立问题
设，
（1） 上恒成立；
（2）上恒成立。
例1．对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
此题需要对m的取值进行讨论，设。①当m=0时，3>0，显然成立。②当m>0时，则△<0。③当m<0时，显然不等式不恒成立。由①②③知。
例2．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.
解：∵在R上恒成立，
∴ ，R
∴，解得故实数的取值范围是.
例3．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，
即有解得。
所以实数的取值范围为。
㈡二次函数在闭区间上恒成立问题
设
（1）当时，上恒成立，
上恒成立
（2）当时，上恒成立
上恒成立
例1．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
O
x
yx
-1
解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。 综上可得实数的取值范围为。
六、构造函数（有时需要移项和分离）
1）恒成立 2）恒成立
例1．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，
则由题可知对任意恒成立
令，得
而
∴
∴即实数的取值范围为。
例2．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。
解：若对任意，恒成立，
即对，恒成立，
考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得
而抛物线在的最小值得
注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。
例3．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．（借助函数的单调性分析）
分析：注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．
解：设,N

∴是关于N的递增函数，则=.
∴要使不等式成立，只须，解之得.
∴实数的取值范围是．
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．

求参数范围问题针对性练习
1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。

2、 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。

3、 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。

4、 已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。

5、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。

6、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。
求参数范围问题针对性练习答案
1、解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：
方法一：或∴x<-1或x>3.
方法二：即解得：
∴x<-1或x>3.
2、解：是增函数对于任意恒成立
对于任意恒成立
对于任意恒成立，令，，所以原问题，又即 易求得。
3、解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立；
ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：
-1
o
x
y
即
得-3a-2;
综上所述：a的取值范围为[-3，1]。
4、x
y
l1
l2
l
-20
o
解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)
当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;
当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[，）。
5、方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。
解：原不等式
当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立设
则
∴
方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。
解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为
a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1],
不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，=f(1)=2-a,2-a>0a<2
6、分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。
解：如果时，恒有意义，对恒成立.
恒成立。
令，又则对恒成立，又在上为减函数，，。

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