新课标高中数学基础知识荟萃、.doc

第一部分 集合
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；
（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。
4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
⑵是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x)
⑶奇函数在原点有定义，则；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
①在区间上是增函数当时有；
②在区间上是减函数当时有；
⑵单调性的判定
① 定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
① ；② ；③；
④ ；⑤；
(3)与周期有关的结论
或 的周期为；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： （ ；⑵指数函数：；
⑶对数函数:；⑷正弦函数:；
⑸余弦函数： ；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；
⑻其它常用函数：
① 正比例函数：；②反比例函数：；③函数；
9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式：；②顶点式：，为顶点；
③零点式： 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。 10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；
ⅱ)———上“+”下“－”；
② 对称变换：ⅰ；ⅱ；
ⅲ ； ⅳ；
③ 翻转变换：
ⅰ)———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；
ⅱ)———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；
注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
13．导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；
⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
①是增函数；②为减函数；③为常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．三角函数定义:角α中边上任意一P点为,设则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；
5．⑴对称轴：；对称中心：；
⑵对称轴：；对称中心：；
6．同角三角函数的基本关系：；
7．三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①
②③ 。
9．二倍角公式：①；
②；③。

10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）
注：①；②；③。
⑵余弦定理：等三个； 等三个。
11。几个公式:
⑴三角形面积公式：；
⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=
第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= 。
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法:
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:
5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）
点到平面的距离：①等体积法；②向量法：。
6．结论：
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。
⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2，体积V=a3。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：
① 高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：。
第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；
⑷两点式： ；⑸一般式：，（A，B不全为0）。
2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
3．两条直线的位置关系：
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
有斜率
已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。
4．几个公式
⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；
⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；
5．圆的方程：
⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
8、直线与圆相交所得弦长
第六部分 圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：；
⑵双曲线：；⑶抛物线：|MF|=d
2．结论
⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；
②抛物线：
⑵弦长公式：
注：⑴抛物线：＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；当点与椭圆短轴顶点重合时最大；
⑷双曲线中的结论：
①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：；
②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；
③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；
⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？
③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。
4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a∥b(b≠0)a=b （x1y2－x2y1=0；
② a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2；
注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；
① a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。
⑶cos<a,b>=；
⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线；
（理科）P，A，B，C四点共面。

第八部分 数列
1．定义：
⑴等差数列 ；
⑵等比数列

2．等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP ③成GP
④成AP, ④成GP,
3．数列通项的求法：
an=
S1 (n=1)
Sn－Sn-1 (n≥2)
⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（型）；⑶公式法：
⑷累乘法（型）；⑸构造法（型）；
⑺间接法（例如：）；⑻（理科）数学归纳法。
4．前项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分 不等式
1．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②变形，。
2．绝对值不等式：
3．不等式的性质：
⑴；⑵；⑶；
；⑷；；
;⑸;⑹
第十部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0；⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；
⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3．几个重要的结论：
；⑶；⑷
⑸性质：T=4；；
4．模的性质：⑴；⑵；⑶。
第十一部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；
⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；
⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；
﹙6﹚对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：；
⑶几何概型： ；
第十二部分 统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差= ；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

4．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：；⑵残差：；⑶残差平方和： ；
⑷回归平方和：－；⑸相关指数 。
注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②越接近于1，，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十三部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；

③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
in或r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1． 四种命题：
⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若p则q； ⑷逆否命题：若q则p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
3．逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p
⑵或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假
⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；
全称命题p：； 全称命题p的否定p：。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；
特称命题p：； 特称命题p的否定p：；
第十五部分 推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；
⑵小前提---------所研究的特殊情况； ⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当取第一个值是命题成立；
⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
② 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式：（m≤n）,；
⑶组合数性质：；
⑷二项式定理：
①通项：②注意二项式系数与系数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…； p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X
x1
X2
…
xn
…
P
P1
P2
…
Pn
…

期望：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xnpn + … ;
方差：DX＝ ;
注：；
③二项分布（独立重复试验）：
若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。
⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；
（6）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；
① 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P=0.6826；P=0.9544
P=0.9974