省扬高中高三数学周末练习0523.doc

　 使用时间：2015-05-25
省扬高中高三数学周末练习
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ▲ ．
2．是虚数单位，若，则|z|等于 ▲ ．
3．函数的单调递减区间为 ▲ ．
4．点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为 ▲ ．
5．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点.甲乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙的概率为 ▲ ．
6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ▲ ．
7．变量、满足条件 ，则的最小值为 ▲ ．
8．椭圆的离心率，左焦点、左顶点、上顶点、下顶点依次为，直线与交于，则的值为 ▲ ．
9． 已知＝－，则的值为 ▲ ．
10．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，的三角形恰有一个，那么的取值范围
是 ▲ ．
11．已知函数若且使得
则实数的取值范围是 ▲ ．
12．已知线段，动点满足，则线段长的范围是 ▲ ．
13．已知，是函数图象上的两个不同点，
且在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ▲ ．
14．设数列满足，且对任意的，满足
则 ▲ ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．
（1） 若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；
（2） 若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；
（3） 若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标，第二次朝下面上的数字为纵坐标，求点（,）落在直线下方的概率．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面， 平面，，
A
C

D
为锐角三角形.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．

17．（本小题满分14分）
已知且．
（1）求的值；（2）证明：．

18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．

19．（本小题满分16分）
已知函数，，．
（1）当，时，求函数的单调区间；
（2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；

20．（本小题满分16分）
已知数列中，，，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.

省扬高中高三数学周末练习参考答案及其评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1． 1；2． ；3． ；4或﹣．；5． ；6． 2 ；7．5 ；8． ；9． ；10． 0＜k≤12或k＝8；11． ；12． ；；13．
14．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则 ……………………4分
（2）记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6种，则P（B）= ……………………8分
（3）记事件“抛掷后点（a,b）在直线x-y=1的下方”为C，要使点（a,b）在直线`x-y=1的下方，则须b<a-1， 当b=1时，a=3或4；当b=2时，a=4，
则所求的概率P（C）= ……………………14分
16．（本小题满分14分）
A
C

D
证明：（1）平面，又平面，平面平面，，
又平面，平面，
平面;…………………7分
（2）在平面内，过作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
又平面，，
为锐角三角形，与是两条相交直线，且都在平面内，
又，平面，
又平面，平面平面．…………………14分

17．（本小题满分14分）
解：（1）将代入得（4分）
所以又，
解得．（6分）
（2）易得，又
所以，（8分）
由（1）可得，（10分）
所以．（14分）
18．（本小题满分16分）
【解析】（1）由条件，代入椭圆方程，得………2分网]椭
所以椭圆的方程为………5分网
（2）设直线OC的斜率为，则直线OC方程为，代入椭圆方程即，得
则………7分
又直线AB方程为代入椭圆方程得
则………9分

在第一象限，………12分

由得………15分 ………16分
19．（本小题满分16分）
函数，求导得．
（1）当，时，，
若，则恒成立，所以在上单调减；
若，则，令，解得或（舍），
当时，，在上单调减；
当时，，在上单调增．
所以函数的单调减区间是，单调增区间是． ………………4分
（2）当，时，，而，所以
当时，，在上单调减；
当时，，在上单调增．
所以函数在上的最小值为，
所以恒成立，解得或，
又由，得，所以实数的取值范围是． ……………9分
（3）由知，，而，则，
若，则，所以，
解得，不符合题意； ……………………………11分
故，则，
整理得，，由得，， …………………………13分
令，则，，所以，
设，则，
当时，，在上单调减；
当时，，在上单调增．
所以，函数的最小值为，故实数的最小值为． ……16分
20． 【解析】（1）将已知条件变形为……1分
由于，则（常数）……3分
即数列是以为首项，公比为的等比数列……4分
所以，即（）。……5分
（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（，），由题意得，，
将，，代入上式得……7分
………………8分
化简得，，即，得，解得
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等比数列。……10分

省扬高中高三数学周末练习
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________．
【解析】∵A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，
∴由题意得a＋2＝3，a＝1.又由a2＋4＝3无解，不符合题意；
经检验得：a＝1.
2．i是虚数单位，若z（i+1）=i，则|z|等于
3．函数的单调递减区间为 ▲ ．
4．点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为
解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=﹣，
点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，
可得|1+|=2，解得a=或﹣．
5．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点.甲乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙的概率为
6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ▲ ．2
7．变量、满足条件 ，则的最小值为
8．椭圆的离心率，左焦点、左顶点、上顶点、下顶点依次为，直线与交于，则的值为 ．答案：．
9． 已知＝－，则的值为 。
解析：＝=则=
则即则
10．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，的三角形恰有一个，那么的取值范围是________。 0＜k≤12或k＝8
解析：设AB＝x，由余弦定理得
122＝x2＋k2－2kxcos60°，
化简得：x2－kx＋k2－144＝0，
因方程的两根之和x1＋x2＝k＞0，故方程有且只有一个根等价于k2－4(k2－144)＝0或k2－144≤0，
解得0＜k≤12或k＝8.
答案：0＜k≤12或k＝8
11．已知函数若且使得
则实数的取值范围是____________.
12．已知线段，动点满足，则线段长的范围是 ．；
13．已知，是函数图象上的两个不同点，
且在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ▲ ．
14．设数列满足，且对任意的，满足
则______________.
答案：
由得，
所以，即；
由得；
所以可以得到即

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．
（1） 若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；
（2） 若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；
（3） 若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标，第二次朝下面上的数字为纵坐标，求点（,）落在直线下方的概率．

解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则 ……………………4分
（2）记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6种，则P（B）= ……………………8分
（3）记事件“抛掷后点（a,b）在直线x-y=1的下方”为C，要使点（a,b）在直线`x-y=1的下方，则须b<a-1， 当b=1时，a=3或4；当b=2时，a=4，
则所求的概率P（C）= ……………………14分
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面， 平面，，
A
C

D
为锐角三角形.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
证明：（1）平面，又平面，平面平面，，
又平面，平面，
平面;
（2）在平面内，过作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
又平面，，
为锐角三角形，与是两条相交直线，且都在平面内，
又，平面，
又平面，平面平面．

17．（本小题满分14分）
已知且．
（1）求的值；（2）证明：．
解：（1）将代入得（4分）
所以又，
解得．（6分）
（2）易得，又
所以，（8分）
由（1）可得，（10分）
所以．（14分）
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．

【解析】
试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件，本题椭圆经过两点，就是两个独立条件，（2）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，本题中和条件一是平行关系，二是垂直关系.设直线的斜率就可表示点及点再利用就可列出关于斜率及λ的方程组.得到，可利用类比得到由两式相除可解得代入可得

试题解析：（1）由条件，代入椭圆方程，
得………2分网]椭

所以椭圆的方程为………5分网
（2）设直线OC的斜率为，
则直线OC方程为，
代入椭圆方程即，
得
则………7分
又直线AB方程为
代入椭圆方程学科网
得

则………9分

在第一象限，………12分

由得………15分
………16分

19．（本小题满分16分）
已知函数，，．
（1）当，时，求函数的单调区间；
（2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；
函数，求导得．
（1）当，时，，
若，则恒成立，所以在上单调减；
若，则，令，解得或（舍），
当时，，在上单调减；
当时，，在上单调增．
所以函数的单调减区间是，单调增区间是． ………………4分
（2）当，时，，而，所以
当时，，在上单调减；
当时，，在上单调增．
所以函数在上的最小值为，
所以恒成立，解得或，
又由，得，所以实数的取值范围是． ……………9分
（3）由知，，而，则，
若，则，所以，
解得，不符合题意； ……………………………11分
故，则，
整理得，，由得，， …………………………13分
令，则，，所以，
设，则，
当时，，在上单调减；
当时，，在上单调增．
所以，函数的最小值为，故实数的最小值为． ……16分
20．（本小题满分16分）
已知数列中，，，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.
【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，满足条件的连续三项为，，；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）这类问题相对较易处理，我们只要找到数列的前后两项与之间的关系，也即从已知等式湊配出这两项的关系，如果实在湊不出，可设，由此得，把它代入已知等式有，即，立即得出了结论，注意还要说明首项不为零；（2）首先由（1）可求得数列的通项公式，然后按照存在性问题的一般方法求解，假设结论存在，连续的三项依次为，，（，），且，如能求出，则说明结论真正存在，如求不出，则说明结论不成立；（3）此问题实质就是若，，成等差数列，则点列在某一直线上，就是由找出的关系，由，得，变形得，下面可以通过讨论的奇偶性来求出的关系．
试题解析：（1）将已知条件变形为……1分
由于，则（常数）……3分
即数列是以为首项，公比为的等比数列……4分
所以，即（）。……5分
（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（，），由题意得，，
将，，代入上式得……7分
………………8分
化简得，，即，得，解得
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等比数列。……10分

【备用题】.已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.
【答案】(1) 0或2；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）根据数列具有性质，为偶数，要，这时要求，必须讨论的奇偶性，分类讨论；（2）要证不等式，最好能求出，那么也就要求出数列的各项，那么我们根据数列定义，由为奇数，则为奇数，为偶数，接下来各项都是偶数，一起到某项为1，下面一项为0，以后全部为0．实际上项为1的项是第项（成等比数列），故可求；（3）由于是正整数，要证明从某一项开始，数列各项均为0，这提示我们可首先证明为非负（这可用数学归纳法加以证明），然后由于数列的关系，可见数列在出现0之前，是递减的，下面要考虑的是递减的速度而已．当为偶数时，；当为奇数时，，因此对所有正整数，都有，依此类推有，只要，则有．
试题解析：（1）∵为偶数，∴可设，故，
若为偶数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故； （2分）
若为奇数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故；
∴的值为0或2． （4分）
（2）∵是奇数，∴，
，，依此类推，
可知成等比数列，且有，
又，，，…
∴当时，；当时，都有． （3分）
故对于给定的，的最大值为

，所以． （6分）
（3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下：
当时，由已知为正整数， 可知为非负整数，故结论成立；
假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，
则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数．
故总有为非负整数．　　　　　　（3分）
当为奇数时， ；当为偶数时，．
故总有，所以，
当时，，即．（ 6分）
又必为非负整数，故必有．　　　　（8分）
【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】

高三数学试卷 　　第19页