高中数学三角函数习题解析.doc

三角函数的概念
〖考纲要求〗理解三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；掌握任意角三角函数定义、符号.
〖复习要求〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义和符号处理问题；了解三角函数线.
〖复习建议〗掌握任意角三角函数的概念，正确进行弧度和角度的换算；熟练掌握任意角三角函数定义、符号，会用任意角三角函数定义和符号处理问题；熟记特殊的三角函数值.
〖双基回顾〗⑴角的定义： .
⑵ 叫正角； 叫负角； 叫零角.
⑶终边相同角的表示： 或者 .
sin= cot=

cos= sec=

tan= csc=

⑷1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是 .⑸任意角三角函数定义为：
·
P(x,y)
x
y
O

任意角三角函数的符号规则： 在扇形中： .S扇形= 。

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
sin

cos

tan

cot

l
r

⑹两个特殊的公式：
如果∈，那么sin＜＜ 推论：＞0则sin＜
如果∈，那么1＜sin+cos≤
一、知识点训练：
1、终边在y轴上的角的集合是 .
2、终边在Ⅱ的角的集合是 .
3、适合条件|sin|=－sin的角是第 象限角.
4、在－720º到720º之间与－1050º终边相同的角是 .
5、sin2·cos3·tan4的符号是………………………………………………………………………（ ）
(A)小于0 (B)大于0 (C)等于0 (D)不确定
6、已知角的终边过点P(－4m,3m)，则2sin+cos=…………………………………………（ ）
(A)1或者－1 (B)或者－ (C)1或者－ (D)－1或者
二、典型例题分析：
1、确定的符号

2、角终边上一点P的坐标为(－,y)并且，求cos与tan的值.

3、如果角的终边在直线y=3x上，求cos与tan的值.

4、扇形的周长为20cm，问其半径为多少时其面积最大？

三、课堂练习：
1、角终边上有一点（a，a）则sin=…………………………………………………………（ ）
(A) (B) －或 (C) － (D)1
2、如果是第二象限角，那么－是第……………………………………………（ ）象限角
(A)Ⅱ或Ⅲ (B) Ⅰ或Ⅱ (C) Ⅰ或Ⅲ (D) Ⅱ或Ⅳ
3、“=2k+（k是整数）”是“tan=tan”的…………………………………………………（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分条件也不必要条件
4、如果角与的终边关于y轴对称，则cos+cos= .
5、在（－4，4）上与角终边相同的所有角为 .
四、课堂小结：
1、要熟悉任意角的概念，掌握角度与弧度的转化方法，熟练掌握任意角三角函数的定义方法.
2、已知角的一个三角函数值求其它三角函数值时，必须对讨论角的范围
3、知道所在的象限能熟练求出所在象限.
五、能力测试： 姓名 得分
1、下列结果为正值的是……………………………………………………………………………（ ）
(A)cos2－sin2 (B)tan3·sec2 (C)cos2·sin2 (D) sin2·tan2
*2、已知锐角终边上有一点（2sin3，－2cos3），那么=………………………………………（ ）
(A)3 (B)－3 (C)3－ (D) －3
3、如果与都是第一象限角，并且＞，则一定有如下关系………………………………（ ）
(A)sin＞sin (B)sin＜sin (C)sin≠sin (D)不能确定

4、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为…………………（ ）
(A) (B) (C) (D)tan1

5、如果角是第二象限角，那么角是第 象限角.

6、已知第二、第三象限角x满足cosx=，求实数a的取值范围.

同角三角函数关系与诱导公式
〖考纲要求〗掌握同角三角函数关系和诱导公式，能运用上述公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.
〖复习要求〗掌握并熟练应用同角三角函数关系和诱导公式.
〖复习建议〗重点从同角三角函数关系和诱导公式出发，解决知值求值的一些题型.
〖双基回顾〗⑴诱导公式：sin(－)= ;sin(＋)= ;sin(－)= ;
sin(＋)= ;sin(－)= ;
⑵同角三角函数关系：
平方关系：
倒数关系：
商的关系：
一、知识点训练：
1、sin(－)=……………………………………………………………………………………（ ）
(A) sin(+) (B) cos(+) (C) cos(－) (D) sin(+)
3、=……………………………………………………………………………………（ ）
(A)－ (B) (C) (D)－
4、设A、B、C是⊿ABC的三个内角，则下列四个表达式⑴cos(A＋B)＋cosC；⑵sin(A＋B)＋sinC；⑶；⑷，始终表示常数的是………………………………（ ）
(A)⑴ (B) ⑴⑶ (C) ⑵⑷ (D)⑶⑷
二、典型例题分析：
1、求值： sin(－660º)cos420º－tan330ºcot(－690º)

2、化简： cos4－sin4＋2sin2.

3、已知，求之值.

4、已知＜＜2，cos（－9）=－，求cot（－）

5、sin与cos是方程的两个根,求实数m.

三、课堂练习：
1、如果sin=，∈（0，），那么cos(－)=……………………………………………（ ）
(A) (B) (C) － (D)－
2、函数的周期是函数的周期的2倍，则=……………（ ）
(A) (B)1 (C) 2 (D)4
3、=……………………………………………………………………（ ）
(A)0 (B)2sin51º (C) 2cos51º (D) －2sin51º
4、，那么是第 象限的角.
四、课堂小结：
1、记忆诱导公式方法：“奇变偶不变（横同竖余）、符号看象限”.
2、角的运算规则：“偶丢，奇留”，“负化正，大化小、化到锐角再查表”
3、用同角三角函数关系时，首先考虑平方关系，但是要注意符号的讨论.

五、能力测试： 姓名 得分
1、如果sin(+)=－,那么cos()=………………………………………………………（ ）
(A)－ (B) (C) － (D)
2、sin600º的值为………………………………………………………………………………………（ ）
(A)－ (B) (C) － (D)
3、锐角能使下列等式成立的是………………………………………………………………（ ）
(A) sin+cos= (B) tan+cot= (C) (D)sin=e|x|
4、cot10º＋cot190º＋tan100º＋cot350º＋sin1590ºcos(－1860º)＋cot(－960º)cot1395º= .
5、化简= ；，那么= .
6、= .
7、化简：

8、如果，求sinx之值.

角的和、差、倍
〖考纲要求〗能推导两角和、差、倍、半的正弦、余弦、正切公式.
〖复习建议〗在复习中要注意掌握三角变形的方法和技巧：1的替换、角的变换（拼凑、分拆）、降次与升次，了解万能代换
〖知识回顾〗
两角和差公式： . 倍角公式：sin2= .
. cos2= .
. = .
.
一、知识点训练：
1、sin(x－y)cosy＋cos(x－y)siny= .
2、tgx=2，那么sin2x= ；cos2x= ；tg2x= ；tg= .
3、如果，则tg=………………………………………………………（ ）
(A)－4－ (B) －4＋ (C) (D)－
二、典型例题分析：
1、求之值.

2、如果，，求的值.

3、在△ABC中，，，求sinC的值.

4、已知，并且∈(0,)，∈(,),求角.

5、设tan，tan是一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（abc≠0）的两个实数根，求的值.

三、课堂练习：
1、利用公式求：tan20º＋tan40º＋tan20ºtan40º= .
2、=…………………………………………………………………………………（ ）
(A) tan(x－y) (B)－tan(x－y) (C)cot(x－y) (D)－cot(x－y)
3、如果，则函数的值域为…………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
4、………………………………………………………（ ）
(A) (B)－ (C) (D)－
四、课堂小结：
处理三角函数的和、差、倍、半问题，一个最重要的内容是能熟练记住几组公式：两角和与差的三角函数、倍角与半角公式，最好能记住万能公式，要学会根据角的范围确定三角函数的符号，掌握几种公式的变形结果并且能熟练使用.

五、能力测试： 姓名 得分
1、如果sinx·cosx=－，其中x∈(,)，则tanx=…………………………………………（ ）
(A) － (B)－ (C) － 或者－ (D)以上都不对.
2、…………………………………………………………………………………………（ ）
(A) 2＋ (B) 2－ (C) －2+ (D)－2－
3、=…………………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
4、tan18º＋tan42º＋tan18ºtan42º= . 5、= .
6、设tan，tan是一元二次方程： x2＋3x＋4=0的两个实数根，并且－＜＜，－＜＜ 求的值.

7、在等腰三角形ABC中，B=C，，求sinB.

8、已知，，并且∈(0,)，∈(,),求.

三角函数式的化简 求值 证明
〖考纲要求〗能运用三角函数公式化简三角函数式、在化简的基础上会求某些三角函数式的值，会证明比较简单的三角恒等式（包括条件恒等式）.
〖复习建议〗1、在复习中主要熟练公式的各种变形；掌握化简的常用方法：异角化同角、异次化同次、高次化低次、切割化弦、特殊值与特殊角的转化；掌握化简的基本要求：项数尽可能要少、次数尽可能的低、函数种类尽可能的少、能求值的尽量求值；在处理化简问题时，观察表达式的结构特点和问题中出现的角的关系尤为重要.
2、在复习中主要熟练公式的各种变形，注意公式的逆向使用、变形使用.掌握恒等变形的基本方法：异角化同角、高次化低次、特殊值与特殊角的转换、条件的代入等.在做题过程中，要注意做到：过程详细，不能遗漏任何一个知识点.
〖知识回顾〗
一、知识点训练：
1、如果，那么的值…………………………………………………（ ）
(A)大于0 (B)不小于0 (C)小于0 (D) 符号不定
2、等于………………………………………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
3、sinx·cosx=，，则cosx－sinx= .
4、= .
5、= .
二、典型例题分析：
1、化简表达式：

2、化简表达式：

3、如果，求证：.

*4、已知、是锐角且，求证：.

5、求值：

6、，，求之值.

7、已知：，，求的值.

三、课堂练习：
1、化简的最简式为…………………………………………………（ ）
(A) 2sin4 (B)2sin4－4cos4 (C)－2sin4－4cos4 (D)4cos4－2sin4
2、的最简形式为 .
3、= .
五、能力测试： 姓名 得分 .
1、如果，那么sin4x＋cos4x=…………………………………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
2、如果 ，则=…………………………………………………………（ ）
(A)2 (B) (C) 或者不存在 (D) 不存在
3、（2003广东考题）x∈（－，0），=……………………………………（ ）
(A) (B)－ (C) (D)－
4、是方程：x2＋px＋q=0的两个根，那么……………………………………（ ）
(A)p－q＋1=0 (B)p＋q＋1=0 (C)p＋q－1=0 (D) p－q－1=0
5、sinx＋sin2x=1，则cos2x＋cos4x= .

6、如果，求cos（提示：）

三角函数的图象
〖考纲要求〗了解正弦、余弦、正切、余切函数图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦以及函数的图象，并能解决与正弦曲线有关的实际问题.
〖复习建议〗熟练掌握三角函数特别是正弦、余弦函数的图象，深刻理解并且熟练掌握函数中参量A、、对正弦函数y=sinx图象的影响；用“五点法”画图象时，关键是正确选取“五点”，在如何选择“五点”上下工夫.
〖知识回顾〗函数图象的几种常见变换：
1、振幅变换：
2、周期变换：
3、相位变换：
4、在横线上填写变换方法：
y=sinx y=sin(x+) y=sin(x+)
y=sinx y=sin(x+)

5、 。

一、知识点训练：
1、把函数的图象向左平移个单位，得到函数的解析式为……………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
2、要得到函数的图象，只要将函数的图象……………………（ ）
(A)向左平移个单位 (B) 向左平移个单位 (C) 向右平移个单位 (D) 向右平移个单位
3、把函数y=sinx的图象向 平移 个单位得到函数的图象，再把函数图象上各点横坐标 到原来的 倍而得到函数
二、典型例题分析：
1、 如果函数（A＞0，＞0，0＜＜2的最小值为－2，周期为，并且经过点（0，－），求此函数的解析式.

2、如果函数y=msin2x－cos2x的图象关于直线对称，同时关于点(a,b)对称，求实数m以及a、b应该满足的条件.

3、已知函数的图形的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的一个解析式.

*4、方程：sinx+cosx+m=0在上有两个不等的实数根、，求实数m的取值范围以及+的值.

三、课堂练习：
1、要得到函数y=cosx的图象，至少要把函数y=sinx的图象向左平移 个单位.
2、函数的图象的一条对称轴为……………………………………………（ ）
(A)x=－ (B) x=－ (C) x=－ (D) x=－
3、关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得：x1－x2是整数倍；②f(x)的表达式可以改写为y=4cos(2x－)；③f(x)的图象关于点(－,0)对称；④f(x)的图象关于直线x=－对称 其中正确命题的序号是 .
4、函数y=2cosx的图象与直线y=2在时围成的图象面积为 .
四、课堂小结：
三角函数的图象问题有一定的综合性，含有：周期性、奇偶性、最值、函数变换等内容，问题小，但是考察的方法灵活，学习方法包括：观察法、特殊结论法、函数变换法，要多加练习.
五、能力测试： 姓名 得分
1

－
1、已知函数（||＜图象如下，那么……………………………………（ ）
(A)=,= (B) =, =－
(C)=2, = (D)=2, =－
1
1
2、函数y=cos(2x+的图象的一条对称轴方程是………………（ ）
(A) x=－ (B)x=－ (C)x= (D)x=
3、如果右图是周期是2的三角函数的图象，则其表达式是……（ ）
(A)sin(1+x) (B)sin(－1－x) (C)sin(x－1) (D)sin(x－1)
4、要得到函数y=cos(2x－)的图象，只要将函数y=sin2x的图象………………………………（ ）
(A)右移个单位 (B)左移个单位 (C) 右移个单位 (D) 左移个单位
5、将函数的图象沿x轴左平移个单位后再将图象上各点的横坐标缩小为原来的一半得到函数y=sinx的图象，那么的表达式为………………………………………………（ ）
(A)y=sin2x (B)y=－sin2x (C) (D)
6、要得到函数的图象，只要把函数的图象向 平移 个单位.
7、如果图象x2+y2≤k2至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则正整数k 的最小值为 .
8、已知函数y=cos2x＋sinx·cosx,x∈R，
①当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
②该函数的图象可以由y=sinx，x∈R的图象经过怎样的平移和伸缩得到？

三角函数的性质（1）
〖考纲要求〗掌握三角函数的性质，了解周期函数和最小正周期的意义，会求形如的函数和可以转化为此类函数的最小正周期.
〖复习建议〗牢记三角函数y=sinx、y=cosx的基本特征，包括定义域、值域、最小正周期等，会求函数的最小正周期.
〖知识回顾〗请填写下列表格：
函数
定义域
值域
周期性
y=sinx

y=cosx

[－1，1]

y=tanx

周期为T=
y=cotx
{x|x，x∈R，k∈Z}

注意：求函数的最小正周期时，一定要把函数表达式转化为最简形式，然后利用公式处理.
一、知识点训练：
1、如果，那么此函数是……………………………………………（ ）
(A)|sinx| (B)cosx (C)sin2x (D)tanx
2、下列表示同一函数的是…………………………………………………………………………（ ）
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) ；
3、函数的定义域为 .
4、已知sin(30º+120º)=sin30º,那么30º是y=sinx的周期，对吗？ .
二、典型例题分析：
1、求函数的定义域.

2、指出下列函数的最小正周期：
⑴y=sin(－2x+4) ；⑵y=sin4x－cos4x .
⑶ ；⑷y=2sin2x－sinx·cosx＋5 .

3、函数的周期为.
⑴求实数a之值；⑵当0≤x≤时，求此函数的最值及此时的x之值.

三、课堂练习：
1、函数的定义域为[0，1]，那么函数的定义域为 .
2、函数的最小正周期为………………………………………………………（ ）
(A) (B) (C) || (D) ||
3、关于函数的周期问题，正确的是………………………………………（ ）
(A)不是周期函数 (B)T= (C) (D) 6
四、课堂小结：
三角函数的定义域与三角函数线有密切关系，要对正弦与余弦以及正切函数线非常熟悉，同时要记住一些特殊的三角函数值；三角函数的周期性是此部分的重要内容，要掌握基本三角函数周期并且会求一些特殊的三角函数周期.

五、能力测试： 姓名 得分
1、函数cot的最小正周期为………………………………………………………………………（ ）
(A) a (B) |a| (C) (D)
2、函数的最小正周期为………………………………………………………………（ ）
(A) (B) (C) (D) 2
3、满足sin(x－)≥的x的集合是………………………………………………………………（ ）
(A){x|2K+≤x≤2K+} (B) {x|2K－≤x≤2K+}
(C){x|2K+≤x≤2K+} (D){x|2K≤x≤2K+或2K+≤x≤2K+}
4、在区间（0，2）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是……………………………………（ ）
(A)(, )∪(,) (B) (,) (C) (,) (D) (,)∪(,)
5、函数y=sin(2+x)的最小正周期为
6、函数的最小正周期为 .

三角函数的性质（2）
〖考纲要求〗掌握三角函数的性质.
〖考试内容〗正弦、余弦、正切、余切函数的性质.
〖复习建议〗在熟练掌握基本三角函数性质的基础上，要善于把三角函数式尽可能转化为只含一个三角函数的“标准式”，进而取确定其性质，在确定三角函数的单调区间时，常可先分析函数的定义域和周期，画出大致图象后在通过观察得出结论.
〖知识回顾〗
函数
奇偶性
单调区间
y=sinx

增区间：

减区间：
y=cosx

增区间：

减区间：
y=tanx

增区间：
y=cotx

减区间：
一、知识点训练：
1、比较大小： ； ；
2、函数y=3|sinx|－2的最大值为 ；
3、有下列结论：⑴正切函数是增函数 ⑵正弦函数在第一象限为增函数 ⑶余弦函数在[0，]上是减函数 ⑷余切函数是减函数.其中正确的命题有…………………………………………（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4、函数是奇函数，那么函数为…………………………………………………（ ）
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既奇又偶函数
二、典型例题分析：
1、⑴三个数A=，B=－，C=，试比较A、B、C的大小关系.

⑵如果A、B并且tanA＜cotB，求角A、B的关系.

2、求函数=lg[]的单调区间.

3、奇函数在（－1，1）上是减函数，并且满足：，如果∈[0,2]，求实数的取值范围.

4、函数=为偶函数，求的值.

三、课堂练习：
1、函数为偶函数的充要条件为……………………………………………（ ）
(A)=± (B) =k+ (C) (D)
2、当函数y=sinx与y=cosx全部是减函数时，x的取值范围是 .
3、函数y=|sinx|的单调递减区间是 .
四、课堂小结：
三角函数的奇偶性问题比较难，因为涉及到三角方程问题，但是简单的三角函数的奇偶性必须熟练掌握；三角函数单调性的描述比较困难，注意只能用区间表示；比较三角函数值时要遵循：负化正、大化小、直到锐角再比较.

五、能力测试： 姓名 得分
1、在区间（0，）上是增函数的是…………………………………………………………………（ ）
(A) y= (B)y= (C)y=－sinx (D) y=－cosx
2、在下列函数中既在是减函数，又是以为周期的偶函数是…………………（ ）
(A) y=cos2x (B)y=sin2x (C)y=cotx (D) y=cos2x
3、如果x∈(0,2)并且满足：sinx＜cosx＜cotx＜tanx，那么x的准确范围是……………………（ ）
(A) （0，） (B)（，） (C)（，） (D)（，）
4、如果x、y是同一象限的角，并且满足：cosx＜cosy；sinx＜siny；cotx＜coty，那么这两个角一定在的象限为…………………………………………………………………………………………（ ）
(A)Ⅰ (B) Ⅱ (C) Ⅲ (D) Ⅳ
5、设函数=sin4x+cos4x，它的最小正周期T，值域M，那么是………………………（ ）
(A)T= ，M=[，1]的偶函数 (B) T= ，M=[，]的偶函数
(C) T= ，M=[，1]的偶函数 (D) T= ，M=[0，1]的奇函数
6、函数的单调递增区间是 .
7、如果，并且，那么= .
8、将下列数从小到大排列起来：
， ，.

9、判断函数的奇偶性.

三角函数的值域与最值
〖考纲要求〗掌握三角函数值域及最值的求法.
〖复习建议〗对基本三角函数的性质有透切的理解，掌握基本三角函数的值域，能灵活选取不同的方法来求三角函数的最值
〖双基回顾〗1、正、余弦函数的值域为 .
2、函数+B的最大值为 ；最小值为 .
3、函数的最大值为 ；最小值为 .
一、知识点训练：
1、函数的值域为…………………………………………………………（ ）
(A)[－1，1] (B) (C) (D)
2、函数的最大值为…………………………………………………（ ）
(A)5 (B)15 (C)19 (D)20
3、函数y=的最小值为……………………………………………（ ）
(A)2 (B) (C)－3 (D)3
4、y=(sinx－a)2在sinx=a时有最小值，在sinx=1有最大值，那么a的取值范围是…………（ ）
(A)[－1，1] (B)[－1，0] (C)[0，1] (D)
二、典型例题分析：
1、 ⑴求函数的最大值.
⑵求函数的最小值.

2、求函数的最值.

3、如果函数的最小值为，求的表达式及的最小值.

4、如图，半径为1的扇形中心角为，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积.
A
B
C
D
O

三、课堂练习：
如果，求的值域.

四、课堂小结：
三角函数的最值问题是建立在求函数值域基础上的一类问题，所以首先要掌握求函数值域的基本方法：换元法、配方法、数形结合法、判别式法、单调性法、部分分式法……，掌握三角函数值域的特殊方法：有界性法、辅助角法.注意题目的隐含条件的挖掘与使用.
五、能力测试： 姓名 得分
1、y=sin4x＋cos4x－1的值域为……………………………………………………………………（ ）
(A)[0，1] (B)[－1，0] (C)[－，0]