陈湘平(利用柯西不等式巧证竞赛题).doc

利用柯西不等式巧证竞赛题
　　　　　　　　　 广东珠海市第四中学（519015）陈湘平
柯西不等式是数学上非常著名，非常重要的不等式之一.利用此不等式，对于准确快捷地解决一些竞赛题，可以起到以简驭繁，事半功倍的效果.
柯西不等式：设ai，bi∈R（i=1,2,……，n），则
≥() 2
当且仅当== … =时等号成立.
证明：作关于x的二次函数f(x)=( )x2+2()x+，
若=0，则a1=a2= … =an=0，原不等式显然成立；若≠0，则f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2) 2+…+(anx-bn) 2≥0且>0
∴(2)2-4≤0
∵≥()2,
当且仅当== … =时等号成立.
柯西不等式结构严谨，形式易记，应用方便，下举例说明，以供参考.

一、利用柯西不等式巧证分式不等式.
例1 （1978年广东数学竞赛题）设a、b、c∈R+且a+b+c=1,证明： ≥9.
证明：∵a、b、c∈R+
∴不妨构造两组实数；；
依柯西不等式有（）（a+b+c）≥（1+1+1）2，
∵a+b+c=1,
∴ ≥9.
例2 （第二届友谊杯竞赛题）设a、b、c∈R+,求证：≥.
证明：∵a、b、c∈R+
∴不妨构造两组实数；；
依柯西不等式有（）（b+c+a+c+a+b）≥(a+b+c)2，
即≥.
注：例1和例2都是巧妙地构造两组实数后，直接利用柯西不等式就可以得到所要的结果.

例3 （1978第20届IMO题）设a1,a2，…，an是互不相同的正整数，则对于一切的自然数n，都有≥.
证明：∵a1,a2，…，an是互不相同的正整数，
∴不妨构造两组实数；；
依柯西不等式有（）（）≥()2
∵a1,a2，…，an是互不相同的正整数,
∴（）()≥（）（）≥()2
∴≥.

例4 （第十九届莫斯科数学竞赛题）设x，y∈R且满足，求证：≥.
证明：∵x，y∈R且满足，
∴1-x2≥0，1-y2≥0
∴不妨构造两组实数；，;
由柯西不等式有（）（1- x2 + 1- y2）≥(1+1) 2
即（）[2-（x2＋y2）] ≥22
∵x2 + y2≥2xy,
∴()(2-2xy) ≥(（）[2-（x2＋y2）] ≥22
∴≥.
注：例3和例4除了利用柯西不等式外，还应用了不等式证明的其它一些技巧，如放缩法等.

二、利用柯西不等式巧求最值问题.
例5 （1999年日本IMO队选拔赛题）已知x、y、z∈R+且x+y+z=1,求的最小值.
解：∵x、y、z∈R+，
∴不妨构造两组实数；;
依柯西不等式有（）（x+y+z）≥(1+2+3)2
∵x+y+z=1,
∴≥36，当且仅当x:y:z=1:2:3时等号成立.
∴当x=,y=,z=时，有最小值36.
例6 （第七届美国竞赛题）已知a、b、c、d、e为实数，满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.
解：由题意易知a+b+c+d=8-e, a2+b2+c2+d2=16-e2,
于是可构造两组实数a,b,c,d；1,1,1,1；
由柯西不等式得（a2+b2+c2+d2）（1+1+1+1）≥（a+b+c+d）2，
即16-e2）×4≥(8-e) 2
解此不等式得e≤,当a=b=c=d时取等号.
∴当且仅当a=b=c=d=时，e有最大值.
可见，运用柯西不等式来证（解）题的关键就是根据题目的特点，巧妙地构造两组实数，需要注意的是你所构造的实数组的合理性，如分母不能为0，平方根非负性等等，读完本文，相信以下问题不再是难题：
（1）（1991年亚太地区竞赛题）若a、b、c∈R+（i=1,2,…n）且=，求证： ≥（a1+a2+…+an）　.
（2）(1984年全国高中联赛题)设x1,x2,…，xn∈R+,证明：≥x1+x2+…+xn..
（3）（《数学通报》1994（11）问题925）已知ai∈R+ (i=1,2,…,n)且=S.求证：≥.
（4）（1998湖南省高中数学联赛题）已知x、y∈R+且，则x+y的最小值是_______.

参考文献：
[1]吴前元，滕耀云.分式不等式的证明方法与技巧.中等数学，2000（4）.
[2]林崇春.利用≥巧证竞赛题.中学数学研究，2002（8）.
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