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2017高考一轮复习 三角函数 大题训练

一．解答题（共20小题）
1．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．
2．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
3．（2016•河北区二模）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求a和ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
4．（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
5．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
6．（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．

7．（2016•平度市模拟）已知，
（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；
（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．
8．（2016•杭州二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msinA=sinB+sinC（m∈R）．
（I）当m=3时，求cosA的最小值；
（Ⅱ）当A=时，求m的取值范围．
9．（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
10．（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
11．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
12．（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
13．（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=，求sinC的值．
14．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
15．（2016•揭阳校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
16．（2016•长沙二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
17．（2016•衡水校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．
（1）求角A的大小；
（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．
18．（2016•河南一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．

（Ⅰ）求sin∠C的值；
（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．
19．（2016•桂林模拟）如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．
（Ⅰ）求sin∠CAD的值；
（Ⅱ）求△ADF的面积．

20．（2016•南昌校级二模）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求
（Ⅰ）∠ADB；
（Ⅱ）△ADC的面积S．

2017高考一轮复习 三角函数 大题训练
参考答案与试题解析

一．解答题（共20小题）
1．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2=2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x
=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，
∴g（）=2sin+﹣1=．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．

2．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx==．
由T=，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）=．
再由，得．
∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．

3．（2016•河北区二模）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求a和ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
【分析】（Ⅰ）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值；
（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）==．
当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a
又f（x）最高点的纵坐标为2，
∴3+a=2，即a=﹣1．
又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴f（x）的最小正周期为T=π
故，ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
由．
得．
令k=0，得：．
故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象以及三角函数的辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键．

4．（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，
则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣
=4sinx（cosx+sinx）﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+（1﹣cos2x）﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣），
则函数的周期T=；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，
即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．

5．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；
（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，；
∴，带入（1）得：；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．

6．（2016•江苏）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．

【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论．
【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，
因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，
则：∠EDC=∠C，
由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，
由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，
因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，
所以，∠EDC=∠ABD．
【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题．

7．（2016•平度市模拟）已知，
（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；
（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．
【分析】（I）利用数量积运算性质、和差公式可得，再利用单调性即可得出．
（I I）由题意得P，Q．根据距离公式及其余弦定理即可得出．
【解答】解：（I），
，解得，
∵x∈[0，2]时，或，
∴f（x）的单调递增区间为，．
（I I）由题意得P，Q．
根据距离公式，，，
根据余弦定理，
【点评】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换、正弦性函数的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（2016•杭州二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msinA=sinB+sinC（m∈R）．
（I）当m=3时，求cosA的最小值；
（Ⅱ）当A=时，求m的取值范围．
【分析】（I）由题意和正弦定理可得3a=b+c，再由余弦定理可得cosA=，由基本不等式可得；
（Ⅱ）由题意可得m=sinB+sinC，由三角函数公式化简可得m=sin（B+），由B∈（0，）和三角函数的值域可得．
【解答】解：（I）∵在△ABC中msinA=sinB+sinC，
当m=3时，3sinA=sinB+sinC，
由正弦定理可得3a=b+c，
再由余弦定理可得cosA=
==
≥=
当且仅当b=c时取等号，
故cosA的最小值为；
（Ⅱ）当A=时，可得m=sinB+sinC，
故m=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）
=sinB+（cosB+sinB）
=sinB+cosB+sinB
=sinB+cosB=sin（B+），
∵B∈（0，），∴B+∈（，），
∴sin（B+）∈（sin，1]，
∴sin（B+）∈（sin，]，
由=cos=1﹣2sin2可解得sin=sin=
∴m的取值范围为（，]，
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及正余弦定理解三角形和基本不等式以及三角函数的值域，属中档题．

9．（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．
（II）cosB=，可得sinB=．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA=．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．
∴A=2B．
（II）解：cosB=，∴sinB==．
cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A﹣B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，
∴bcsinA=，
∴2bcsinA=a2，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．

11．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．

12．（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
∴a2+c2﹣b2=ac．
∴cosB===，
∴B=
（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，
∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）
=cosA﹣cosA+sinA
=cosA+sinA
=sin（A+）．
∵A∈（0，），
∴A+∈（，π），
故当A+=时，sin（A+）取最大值1，
即cosA+cosC的最大值为1．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．

13．（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=，求sinC的值．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；
（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．
【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，
∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，
∴cosB=，∴B=．
（2）∵cosA=，∴sinA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．

14．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；
（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，
∴sinB=，
∵，
∴AB==5；
（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．
∵A为三角形的内角，
∴sinA=，
∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

15．（2016•揭阳校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．
【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得：=，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=﹣，
∵C为三角形内角，
∴C=；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），
∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=时，△ABC的面积最大为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

16．（2016•长沙二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【分析】（Ⅰ）化简已知条件可得sin（A+）=sinB，再由大边对大角可得A+B=，从而求得 C的值．
（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得=2sin（A+），由此可得的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）sinA+cosA=2sinB，即 2sin（A+）=2sinB，则 sin（A+）=sinB．…（3分）
因为0＜A，B＜π，又a≥b，进而A≥B，
所以A+=π﹣B，故A+B=，故 C=．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得==[sinA+sin（A+）]
=sinA+cosA=2sin（A+）．…（10分）
故当A=时，取最大值2．…（12分）
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

17．（2016•衡水校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．
（1）求角A的大小；
（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．
【分析】（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA的值，进而求得A．
（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B，C和a的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：（1）因为1+•=，
所以=2sinC，
又因为sinC≠0，所以cosA=，
所以A=．
（2）因为f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），
所以，当2x﹣=，即x=时，f（x）max=3，
此时B=，C=，a=3．
因为=，所以c===，
则S=acsinB=×3××=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．

18．（2016•河南一模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．

（Ⅰ）求sin∠C的值；
（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．
【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以．
又因为，
所以．
所以
=． …（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由，得．
所以．…（13分）
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．

19．（2016•桂林模拟）如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．
（Ⅰ）求sin∠CAD的值；
（Ⅱ）求△ADF的面积．

【分析】（Ⅰ）由题意分别在RT△ABC和RT△ADE由三角函数定义∠DAE和∠CAB的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；
（Ⅱ）由中位线可得DF=EF=BC=，代入三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE为边长为1的正方形，
在RT△ABC中sin∠CAB==，cos∠CAB==，
同理RT△ADE中sin∠DAE=cos∠CAB=
∴sin∠CAD=sin（∠DAE﹣∠CAB）=×﹣×=；
（Ⅱ）由题意可得DF=EF=BC=，
∴△ADF的面积S=×DF×AE=××1=
【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和三角形的面积，属基础题．

20．（2016•南昌校级二模）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求
（Ⅰ）∠ADB；
（Ⅱ）△ADC的面积S．

【分析】（I）在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；
（II）代入三角形的面积公式计算．
【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：，
即，解得BD=3．
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB===．
∴∠ADB=45°．
（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．
∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=，
∴S△ACD=•CDsin∠ADC==．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．

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