第二章第3课时知能演练轻松闯关.doc

1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ex　　　　　　　　 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x－1)
答案：A
2．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
解析：选B.a＞1时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；
0＜a＜1时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值为f(1)，最大值为f(0)，
据题设有f(0)＋f(1)＝a，
即1＋a＋loga2＝a，∴a＝.
3．函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．
答案：　1
4．已知f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，则不等式f(x)≤f(3)的解集是________．
解析：

如图，因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则在[－3,3]范围内f(x)≤f(3)．
答案：[－3,3]
5．如果存在直线y＝k，使得函数y＝x2＋x＋的图象与函数y＝ax2－x－1的图象分别位于直线y＝k的上方和下方，求实数a的取值范围．
解：依题意，存在直线y＝k，使得函数y＝x2＋x＋的图象与函数y＝ax2－x－1的图象分别位于直线y＝k的上方和下方，即使得函数y＝x2＋x＋有最小值，函数y＝ax2－x－1有最大值，且函数y＝x2＋x＋的最小值大于函数y＝ax2－x－1的最大值，故应有，解得实数a的取值范围是{a|－1＜a＜－}．

1．函数y＝1－(　　)
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(－1，＋∞)上单调递减
C．在(1，＋∞)上单调递增
D．在(1，＋∞)上单调递减
答案：C
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案：B
3．(2010·高考北京卷)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B.①函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，②y＝log(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数，③y＝|x－1|在(0,1)上为减函数，④y＝2x＋1在(－∞，＋∞)上为增函数，故选B.
4．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选D.∵f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，∴|x|>1，∴x<－1或x>1.
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．

解析：y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．
答案：[0，]
6．y＝的递减区间是________，y＝ 的递减区间是________．
解析：y＝＝－1＋，
定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
对于函数y＝ ，其定义域为(－1,1]，由复合函数单调性可知它的递减区间是(－1,1]．
答案：(－∞，－1)，(－1，＋∞)　(－1,1]
7．判断函数f(x)＝ex＋e－x在区间(0，＋∞)上的单调性．
解：法一：设0<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2
＝(ex2－ex1)(－1)，
∵0<x1<x2，∴ex2－ex1>0，又e>1，x1＋x2>0，
∴ex1＋x2>1，故－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，由单调函数的定义知函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．
法二：对f(x)＝ex＋e－x求导得：
f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)．
当x∈(0，＋∞)时，有e－x>0，e2x－1>0，
此时f′(x)>0，
∴函数f(x)＝ex＋e－x在区间(0，＋∞)上为增函数．

1．若f(x)＝，g(x)＝－，则有(　　)
A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)
解析：选D.因为y＝ex和y＝－e－x在R上均为递增函数，
∴f(x)在R上单调递增，所以0＝f(0)<f(2)<f(3)，
又g(0)＝－1<0，所以g(0)<f(2)<f(3)．

2．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f的单调减区间是(　　)
A．[1，]　　　　　　 B．[，1]
C．(0,1]和[，＋∞) D．(－∞，1]和[，＋∞)
解析：选C.令t＝logx，则此函数为减函数，由图知y＝f(t)在和[0，＋∞)上都是增函数，当t∈时，x∈[，＋∞)，当t∈[0，＋∞)时，x∈(0,1]，∴函数g(x)＝f(logx)在(0,1]和[，＋∞)上都是减函数，故选C.
3．已知函数f(x)＝，满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析：由已知f(x)在R上为减函数，
∴应有，
解得0<a≤.
答案：(0，]
4．(2012·韶关质检)对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”，则函数f(x)＝的下确界为________．
解析：由题意知，f(x)＝＝≥＝(当且仅当x2＝1且x≠－1时等号成立，即x＝1时取等号)，所以f(x)的下确界为.
答案：
5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x2＋2x＋，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，
又∵x∈[1，＋∞)，
∴f(x)的最小值是f(1)＝.
(2)由(1)知f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝a＋3.
∵f(x)＞0在[1，＋∞)上恒成立，
故只需a＋3＞0即可，解得a＞－3.
∴实数a的取值范围是{a|a＞－3}．
6．f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f＜2.
解：(1)f(1)＝f＝f(x)－f(x)＝0，x＞0.
(2)证明：设0＜x1＜x2，
则由f＝f(x)－f(y)，
得f(x2)－f(x1)＝f，
∵＞1，∴f＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(6)＝f＝f(36)－f(6)，
∴f(36)＝2，
原不等式化为：f(x2＋3x)＜f(36)，
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴
解得0＜x＜.
∴原不等式的解集为{x|0<x<}．