云南省泸西县泸源普通高级中学2025年高二下数学期末学业水平测试试题含解析.doc

云南省泸西县泸源普通高级中学2025年高二下数学期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数为奇函数,则（ ）
A． B． C． D．
2．a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴选择，有下列结论：
①当直线与a成60°角时，与b成30°角；
②当直线与a成60°角时，与b成60°角；
③直线与a所成角的最小值为45°；
④直线与a所成角的最大值为60°；
其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了, 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）

A．两个分类变量关系较强
B．两个分类变量关系较弱
C．两个分类变量无关系 ^
D．两个分类变量关系难以判断
7．将函数图象上所有的点向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ）
A．144 B．192 C．216 D．240
9．将点的极坐标化成直角坐标是(   )
A． B． C． D．
10．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在时取得极大值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．若实数满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设离散型随机变量的概率分布如下：

则的值为__________．
14．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.
15．不等式的解为______．
16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则该球的半径为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）若函数为奇函数，(0，)，求的值；
（2）若＝，＝，(0，)，求的值．
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，其中，且，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
19．（12分）统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.
环比增长率（本期数上期数）上期数，
同比增长率（本期数同期数）同期数.
下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：
序号

时间
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
消费者信心指数

2017年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月

求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；
除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？
由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设点极坐标为，且，，.
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）①求点的直角坐标；
②若直线与曲线交于，两点，求.
21．（12分）（1）求方程的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
22．（10分）在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算
【详解】
由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.
解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.
2、C
【解析】
由题意知，、、三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】
解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故，，
斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，
直线的方向单位向量，1，，，
直线的方向单位向量，0，，，
设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，
其中为与的夹角，，，
在运动过程中的向量，，，，，
设与所成夹角为，，
则，，
，，③正确，④错误．
设与所成夹角为，，
，
当与夹角为时，即，
，
，，
，，，此时与的夹角为，
②正确，①错误．
故选：．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
3、C
【解析】
分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案．
解答：解：根据他先前进了akm，得图象是一段上升的直线，
由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），得图象是一段下降的直线，
由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，
综合，得图象是C，
故选C．
点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
4、D
【解析】
函数中的取值范围与函数中的范围一样.
【详解】
因为函数的定义域为，所以，所以，
所以函数的定义域为.选D.
求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合，而对应关系所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.
5、C
【解析】
分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.
详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，
所以，甲、丙相邻的概率为.
故选C.
点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.
6、A
【解析】
分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.
详解：从等高条形图中可以看出2，在中的比重明显大于中的比重，所以两个分类变量的关系较强.
故选A
点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.
7、C
【解析】
根据平移得到，函数关于点中心对称，得到答案.
【详解】
根据题意：，故，取，故.
故函数关于点中心对称，由，则
故，则正确，其他选项不正确.
故选：.
本题考查了三角函数平移，中心对称，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
8、C
【解析】
由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.
【详解】
因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；
当个位数字是0时，共有种可能；
当个位数字是5时，共有种情况；
因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.
故选C
本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.
9、A
【解析】
本题考查极坐标与直角坐标的互化
由点M的极坐标，知
极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为
即
故正确答案为A
10、C
【解析】
根据时可得：；令可得函数在上单调递增；利用奇偶性的定义可证得为偶函数，则在上单调递减；将已知不等式变为，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
令，则在上单调递增
为奇函数 为偶函数
则在上单调递减
等价于
可得：，解得：
本题正确选项：
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.
11、D
【解析】
求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f（x）在x＝1取得极小值，不符合；当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，由此求得a的范围得答案．
【详解】
由，得
f′（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e）．
当a≥0时，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．
∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
则f（x）在x＝1取得极小值，不符合；
当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），
为使f（x）在x＝1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．
∴a的取值范围是a＜﹣e．
故选：D．
本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．
12、B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，
此时最大．
由，解得，即，
代入目标函数得．
即目标函数的最大值为1．
故选B．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：离散型随机变量的概率之和为1
详解：解得：。
点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。
14、
【解析】
直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．
【详解】
，
则复数z的模为．
故答案为．
本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题．
15、或或或
【解析】
利用组合数公式得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的取值.
【详解】
，由组合数公式得，得，
整理得，即，解得，
由题意可知且，因此，不等式的解为或或或.
故答案为：或或或.
本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.
16、13cm
【解析】
设球半径为R，则，
解得，故答案为13.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）根据函数为奇函数得，根据的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和可得：，利用同角三角函数可求得；利用二倍角公式求得和，将整理为，利用两角和差余弦公式求得结果.
【详解】
（1）为奇函数
又
当时，是奇函数，满足题意

（2），
又
；

本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式.
18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（1）根据已知可得，可证平面，从而有，再由已知可得，可证平面，即可证明结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出坐标，再求出平面法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）因为底面，底面，
所以.又因为，，
所以平面.又因为平面，
所以.
因为，是的中点，所以.
又因为，所以平面.
而平面，所以.
（Ⅱ）因为两两垂直，所以以为原点，
所在直线分别为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，于是.
设平面的一个法向量为.
，.
由得，
令，则，得.
设与平面所成的角为，则

.
故与平面所成角的正弦值是.

本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
19、；个；；.
【解析】
根据所给数据求出同比增长率即可；由本期数上期数，结合图表找出结果即可；
根据所给数据求出相关系数，求出回归方程，代入的值，求出的预报值即可.
【详解】
解：该地区年月份消费者信心指数的同比增长率为；
由已知环比增长率为负数，即本期数上期数，从表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共个月的环比增长率为负数.
由已知计算得：，，
线性回归方程为.
当时，，即预测该地区年月份消费者信心指数约为.
本题考查回归方程问题，考查转化思想，属于中档题.
20、（Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①②
【解析】
（Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答.
【详解】
解（Ⅰ），
曲线.
（Ⅱ）①，，.
②将代入，得，
，，
.
本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）56；（2）840种，计算过程见解析
【解析】
（1）利用隔板法求结果；
（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.
【详解】
（1）若定义，其中，
则是从方程的非负整数解集到方程的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程正整数解得个数是
从而方程的非负整数解得个数也是56；
（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
从1个安检口通过共有：种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：种方案；
从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：种方案；
从4个安检口通过共有：种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：种.
本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
22、（1）见解析；（2）．
【解析】
试题分析：
由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解．（1）通过证明，可得．（2）由题意可得平面的一个法向量为，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值．
试题解析：
（1）∵平面平面平面，
∴，
又，
∴两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
∴，
∵，
∴；
（2）由已知，得是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
∵，
由，得，
令，得.
∴，
由图形知，平面与平面所成的二面角为锐角，
∴平面与平面所成二面角的余弦值为．