2025年揭阳市重点中学数学高二下期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025年揭阳市重点中学数学高二下期末复习检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）
A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
4．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
5．设函数为自然对数的底数）在上单调递增，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．是异面直线的公垂线，在线段上(异于)，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三角形不定
7．已知函数的定义域为，集合，则( )
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）

A． B． C． D．
9．用数学归纳法证明某命题时，左式为
在验证时，左边所得的代数式为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段
11．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
12．设方程 的两个根为，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列中，，则公比______；______．
14．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件：甲被选为代表，事件:乙没有被选为代表，则等于_________.
15．已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
16．求值：__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知复数为虚数单位.
（1）若复数 对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若，求的共轭复数.
18．（12分）在直角坐标系中，曲线：（，为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，若的面积为，求的值．
19．（12分）设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（2）在（1）的条件下求函数的单调区间与极值点.
20．（12分）已知函数．
（1）若在为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在的最小值为，求的值域．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.
22．（10分）已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围。
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先求出，再判断得解.
【详解】
，
所以复数对应的点为（3,5），
故复数表示的点位于第一象限.
故选A
本题主要考查共轭复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2、A
【解析】
由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果
满足条件的事件是e=
∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；
当b=2时，有a=5，6两种情况，
总共有6种情况．
∴概率为．
故选A
3、A
【解析】
试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．
解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，
∵N={﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N={0，1，2}．
故选A
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
5、D
【解析】
根据单调性与导数的关系，有在上恒成立，将恒成立问题转化成最值问题，利用导数，研究的单调性，求出最小值，即可得到实数的取值范围。
【详解】
依题意得，在上恒成立，即
在上恒成立，设，令，，
，所以，，
，故选D。
本题主要考查函数单调性与导数的关系，将函数在某区间单调转化为导数或者的恒成立问题，再将其转化为最值问题，是解决此类问题的常规思路。
6、C
【解析】
用表示出，结合余弦定理可得为钝角．
【详解】

如图，由可得平面，从而，线段长如图所示，由题意，，，显然，∴，为钝角，即为钝角三角形．
故选C．
本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用表示出．
7、D
【解析】
,解得，即，，所以，故选D.
8、D
【解析】

由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为，则，底面三角形的外接圆的半径，则三棱锥的外接球的半径，其表面积，应选答案D。
9、B
【解析】
试题分析：用数学归纳法证明某命题时，左式为
在验证时，左边所得的代数式应为；
故选B
考点：数学归纳法．
10、D
【解析】
根据复数的几何意义知，复数对应的动点P到对应的定点的距离之和为定值2，且，可知动点的轨迹为线段.
【详解】
设复数，对应的点分别为,
则由知：,
又，
所以动点P的轨迹为线段.故选D
本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.
11、B
【解析】
由于为三角形内角，故，所以，
即为钝角，
三角形为钝角三角形，故选B.
12、D
【解析】
画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。
【详解】
画出函数与的图像，如图

结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，
根据是减函数可得，所以
有图像可知
所以即，
则，所以，而
所以
故选D
本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2 4
【解析】
根据等比数列通项公式构造方程求解即可.
【详解】

本题正确结果：；
本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.
14、
【解析】
因为，所以。应填答案。
15、
【解析】
分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，
解得：，，
由抛物线方程可得：，
焦点坐标为.

点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.
16、1
【解析】
分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致。
详解：通项展开式中的，故

=
点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）求出复数的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出的范围；（2）由已知得出 ，代入的值，求出 ．
试题解析;（I）=，
由题意得 解得
（2）

18、 (1) 是以为圆心，为半径的圆. 的极坐标方程.(2)
【解析】
（1）消去参数得到的普通方程.可得的轨迹.
再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.
（2）先得到的极坐标方程，再将，代入，解得，，利用三角形面积公式表示出的面积，进而求得a.
【详解】
(1)由已知得：平方相加消去参数得到=1，即，∴的普通方程：.
∴是以为圆心，为半径的圆.
再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.
（2）的极坐标方程，
将，代入，解得，
，
则的面积为，解得.
本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.
19、（1）；（2）详见解析
【解析】
【试题分析】（1）先对函数求导，再借助导数的几何意义建立方程组进行求解；（2）先对函数求导，再依据导数与函数单调性之间的关系进行分类求求出其单调区间和极值点：
解：(1），
∵曲线在点处与直线相切，
∴；
（2）∵，
由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴此时是的极大值点，是的极小值点.
20、 (1) .
(2) .
【解析】
分析：（1）原问题等价于在上恒成立，据此可得实数的取值范围是；
（2）由函数的解析式二次求导可得在上是增函数，则存在唯一实数，使得，据此可得的最小值构造函数，讨论可得其值域为.
详解：（1）在上恒成立，
设
则在为增函数，.
（2），
可得在上是增函数，
又，，
则存在唯一实数，使得即,
则有在上递减；
在上递增；
故当时，有最小值
则的最小值，
又，
令，
求导得，故在上递增，
而，故可等价转化为,
故求的最小值的值域，可转化为：
求在上的值域.
易得在上为减函数，则其值域为.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21、（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）
【解析】
（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为.
.
（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）当时，由解得，由解得.
∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.
（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，
∴恒成立，符合题意.
②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.
（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，且.
而当时，
且成立.
∴符合题意.
（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，
∴符合题意.
（iii）若，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，
即，
∴符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
22、（1）（2）
【解析】
（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；
（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，又，
所以函数在点处的切线方程为。
（2）因为，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，
若，在恒成立，即恒成立，所以，
所以的取值范围是。
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。