江西省九江市同文中学2025年数学高二下期末联考模拟试题含解析.doc

江西省九江市同文中学2025年数学高二下期末联考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若当时,函数取得最大值,则( )
A． B． C． D．
3．已知三棱锥的底面是等边三角形，点在平面上的射影在内（不包括边界），.记，与底面所成角为，；二面角，的平面角为，，则，，，之间的大小关系等确定的是（）
A． B．
C．是最小角，是最大角 D．只能确定，
4．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有( )
A．18种 B．36种 C．72种 D．144种
5．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则最多有一个二等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若集合，，则( )
A． B．
C． D．
8．参数方程（为参数）所表示的图象是
A． B． C． D．
9．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
10．设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为（ ）
A． B． C． D．
11．若,则等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
12．在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，，当时，这两个函数图象的交点个数为____个．（参考数值：）
14．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.
15．为定义在上的奇函数，且，则_____．
16．从集合2，，中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）对任意正整数，，定义函数满足如下三个条件：
①；
②；
③．
（1）求和的值；
（2）求的解析式．
18．（12分）在二项式展开式中，所有的二项式系数和为1．
（1）求展开式中的最大二项式系数；
（2）求展开式中所有有理项中系数最小的项．
19．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）设是棱上的一点，当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）函数．
当时，求函数的极值；
若，设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）在平面直角坐标系中，直线，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点，点在点的下方.
（Ⅰ）当时，求，两点的直角坐标；
（Ⅱ）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.
22．（10分）已知数列各项均为正数，，，.
（1）若，
①求的值；
②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若，证明：当时，.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
，所以，选A.
2、B
【解析】
函数解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.
【详解】
，其中,
当，即时，取得最大值5 ,
，
则，故选B.
此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.
3、C
【解析】
过作PO⊥平面ABC，垂足为，过作OD⊥AB，交AB于D，过作OE⊥BC，交BC于E，过作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，由此得到结论．
【详解】
解：如图，过作PO⊥平面ABC，垂足为，
过作OD⊥AB，交AB于D，
过作OE⊥BC，交BC于E，
过作OF⊥AC，交AC于F，
连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，

∵△ABC为正三角形，PA＜PB＜PC，
二面角P−BC−A，二面角P−AC−B的大小分别为，，
PA，PB与底面所成角为，，
∴＝∠PAO，＝∠PBO，γ＝∠PEO，＝∠PFO，
OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，
在直角三角形OAF中，，
在直角三角形OBE中，，
OA＜OB，∠OAF＜∠OBE，
则OF＜OE，同理可得OD＜OF，
∴OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，
∴＜，＜，＞，＜，
可得是最小角，是最大角，
故选：C．
本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4、D
【解析】
由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，再相乘得解．
【详解】
由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，
可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，
然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，
最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，
由于是分步进行，所以共有种，
故选：D.
本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.
5、B
【解析】解：解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为个，
其中恰好有一个二等品的事件有个，
根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为
6、A
【解析】
记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解.
【详解】
记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为：

故选：A
本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.
7、A
【解析】
分析：求出及，即可得到.
详解：则
.
故选C.
点睛：本题考查集合的综合运算，属基础题.
8、D
【解析】
由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
【详解】
由题意知将代入，得，
解得，因为，所以.故选：D。
本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。
9、B
【解析】
根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】
因为复数是纯虚数,故 ,解得.
故选：B
本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.
10、C
【解析】
因，故由题设可得，即，故其前项和，又，故当时，最大，应选答案C．
11、B
【解析】
分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.
详解：由题意且，，解得，故选B.
点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
12、B
【解析】
,复数对应点为: .
点在第二象限,所以B选项是正确的.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1．
【解析】
原问题等价于函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．
【详解】
函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为﹣x2+8x＝6lnx+m的解的个数，亦即函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，
，令y′＝0，解得x＝1或x＝1，
故当x∈（0，1）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，
当x∈（1，1）时，y′＞0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递增，
当x∈（1，+∞）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，
且y|x＝1＝7，y|x＝1＝15﹣6ln1＞8，
作出函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草图如下，

由图可知，函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）有1个交点．
故答案为：1．
本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题．
14、7.
【解析】
设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以
经过1个小时细胞有，
经过2个小时细胞有=，
······
经过8个小时细胞有，又，
所以，，.
故答案为7.
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据已知将x=x+2代入等式可得，可知为周期T=4的周期函数，化简，再由奇函数的性质可得其值．
【详解】
由题得，则有，因为为定义在R上的奇函数，那么，则，故.
本题考查奇函数的性质和周期函数，属于常见考题．
16、2
【解析】
根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d，确定d的可能取值为1，2，3，，1，进而分析可得答案．
【详解】
根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为，公差为d，必有．
则，则，
则d的可能取值为1，2，3，，1．
对于给定的d，，当分别取1，2，3，，时，可得递增等差数列个
如：时，，当分别取1，2，3，，26时，
可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，，6；；26，21，，30，其它同理．
当d取1，2，3，，1时，可得符合要求的等差数列的个数为：个；
故答案为：2．
本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】
（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由依次推出，再由，，依次推出即可.
【详解】
解：（1）因，令代入得:
，令，代入得:
，
又，令代入得：
．
令，代入得：．
（2）由条件②可得
，
，
……
．
将上述个等式相加得：．
由条件③可得：，
，
… …
．
将上述个等式相加得：

．
本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）展开式中所有的二项式系数和，可求出，即二项式系数最大的项是第5项，即可求出答案；（2）由题可得，取值为0，4，8时，为有理项，分别求出对应项，即可得出答案.
【详解】
解:（1）依题意得，
所以，因此二项式系数最大的项是第5项，
所以最大二项式系数为.
（2），
为有理项，则可取值为0，4，8.
有理项为 ，，，
所求有理项的系数最小项为.
二项式系数与项的系数的区别：
二项式系数是指；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.
19、（1） ;（2）.
【解析】
以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系（1）由可得异面直线与所成角的余弦值．
（2）当平面时，设，要使平面，只需即可．即可得即为的中点，即，
由即可求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
解：以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，.
（1），．则
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）当平面时，设.，，，面．要使平面，只需即可．
，
．即为的中点，即,
，平面的法向量为，则．
直线与平面所成角的正弦值为.

本题考查了异面直线所成角，考查了线面角.本题的易错点是第二问中，错把当成了线面角.
20、（1）见解析；（2），或
【解析】
对求导，研究其单调区间，求得极值；构造函数，求导，对参数a分情况讨论，最后取并集．
【详解】
当时，，
定义域为，
，
令，得，舍，
当时，；
当时，，
当时，由极小值，无极大值；
令，
在上存在，使得成立，
即在上存在，使得，
在上的最小值小于1．
又，
当，即时，在上递减，
的最小值为，
由可得，
，
；
当，即时，在上递增，
此时最小值为，
由可得；
当，即时，
可得的最小值为，
，
，
此时，，
不存在，使得成立．
综上，a的范围为：，或．
此题考查了利用导数研究函数的单调性，求极值，最值等，并对分类讨论，构造函数等做了考查，难度较大．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于1；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据题意，可将直线与曲线C联立求得，两点的直角坐标；
（II）（解法一）当变化时，，于是可知点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程；
（解法二）设，可用相关点法表示出的坐标，代入，于是得到轨迹方程.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，直线，
曲线的普通方程为：，
由解得或，
∵点在点的下方，
所以，两点的直角坐标为：，.
（II）（解法一）当变化时，，
所以点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
因为曲线是圆心为的圆，
则以为直径的圆的圆心坐标，半径为2.
所以点轨迹的直角坐标方程为，
所以点轨迹的极坐标方程为.
（解法二）设，
因为点是线段中点，是极点，
所以点的坐标为，
代入中，得，
因为，不重合，所以，
所以点轨迹的极坐标方程为.
本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考查学生的转化能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.
22、 (1) ①；； ② (2)见证明
【解析】
（1）①根据递推公式，代入求值即可；
②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；
（2）应用数学归纳法证明.
【详解】
(1) 当时，即
当时，
当时，
当时，
②由此猜想：
证明如下：①当时，，成立；
②假设当时，猜想也成立，即,
则当时，
.
即当时，猜想也成立．
由①②得，猜想成立，即.()
(2) 当时，即
当时，由知不等式成立．
假设当时，命题也成立，即.
由

即当时，命题也成立．
由①②得，原命题成立，即当时，.
该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.